Algebra Beispiele

$2 x^{2} + 11 x - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 11 x = 1$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} + 11 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} + 11 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{11 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{11 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{11}{4})}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + \frac{11 x}{2} + {(\frac{11}{4})}^{2} = \frac{1}{2} + {(\frac{11}{4})}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{11}{4}$ an.

$x^{2} + \frac{11 x}{2} + \frac{11^{2}}{4^{2}} = \frac{1}{2} + {(\frac{11}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{2} + \frac{121}{4^{2}} = \frac{1}{2} + {(\frac{11}{4})}^{2}$

Schritt 5.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{2} + \frac{121}{16} = \frac{1}{2} + {(\frac{11}{4})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $\frac{1}{2} + {(\frac{11}{4})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{11}{4}$ an.

$x^{2} + \frac{11 x}{2} + \frac{121}{16} = \frac{1}{2} + \frac{11^{2}}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{2} + \frac{121}{16} = \frac{1}{2} + \frac{121}{4^{2}}$

Schritt 5.2.1.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{2} + \frac{121}{16} = \frac{1}{2} + \frac{121}{16}$

Schritt 5.2.1.2

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{2} + \frac{121}{16} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{121}{16}$

Schritt 5.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{2} + \frac{121}{16} = \frac{8}{2 \cdot 8} + \frac{121}{16}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{2} + \frac{121}{16} = \frac{8}{16} + \frac{121}{16}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + \frac{11 x}{2} + \frac{121}{16} = \frac{8 + 121}{16}$

Schritt 5.2.1.5

Addiere $8$ und $121$ .

$x^{2} + \frac{11 x}{2} + \frac{121}{16} = \frac{129}{16}$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + \frac{11}{4})}^{2}$ .

${(x + \frac{11}{4})}^{2} = \frac{129}{16}$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{11}{4} = \pm \sqrt{\frac{129}{16}}$

Schritt 7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{129}{16}}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{129}{16}}$ als $\frac{\sqrt{129}}{\sqrt{16}}$ um.

$x + \frac{11}{4} = \pm \frac{\sqrt{129}}{\sqrt{16}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x + \frac{11}{4} = \pm \frac{\sqrt{129}}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x + \frac{11}{4} = \pm \frac{\sqrt{129}}{4}$

Schritt 7.3

Subtrahiere $\frac{11}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \frac{\sqrt{129}}{4} - \frac{11}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \frac{\sqrt{129}}{4} - \frac{11}{4}$

Dezimalform:

$x = 0.08945417 \dots, - 5.58945417 \dots$