Algebra Beispiele

$f (x) = {(x - 2)}^{2} - 1$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = 2$

$k = - 1$

Schritt 1.2

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, - 1)$

Schritt 1.4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.5.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, - \frac{3}{4})$

Schritt 1.6

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 2$

Schritt 1.7

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.7.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.7.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.8

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(2, - 1)$

Brennpunkt: $(2, - \frac{3}{4})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = - \frac{5}{4}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(2, - 1)$

Brennpunkt: $(2, - \frac{3}{4})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = - \frac{5}{4}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 3$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 3$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 3$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f (1) = - 3 + 3$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 3$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 3$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$f (0) = 3$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 + 3$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = 9 - 4 \cdot 3 + 3$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f (3) = 9 - 12 + 3$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$f (3) = - 3 + 3$

Schritt 2.8.2.2

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f (3) = 0$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 3$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = 16 - 4 \cdot 4 + 3$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$f (4) = 16 - 16 + 3$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.11.2.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$f (4) = 0 + 3$

Schritt 2.11.2.2

Addiere $0$ und $3$ .

$f (4) = 3$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 4 & 3 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(2, - 1)$

Brennpunkt: $(2, - \frac{3}{4})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \\ 2 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 4 & 3 \end{array}$

Schritt 4