Algebra Beispiele

y = {(x - 3)}^{2} + 2

$y = {(x - 3)}^{2} + 2$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Benutze die Scheitelpunktform,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von

a

$a$ ,

h

$h$ und

k

$k$ zu ermitteln.

a = 1

$a = 1$

h = 3

$h = 3$

k = 2

$k = 2$

Schritt 1.2

Da der Wert von

a

$a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.3

Ermittle den Scheitelpunkt

(h, k)

$(h, k)$ .

(3, 2)

$(3, 2)$

Schritt 1.4

Berechne

p

$p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.4.2

Setze den Wert von

a

$a$ in die Formel ein.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

1

$1$ .

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Schritt 1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.5

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von

$p$ zur y-Koordinate

$k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.5.2

Setze die bekannten Werte von

$h$ ,

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3, \frac{9}{4})$

Schritt 1.6

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 3$

Schritt 1.7

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.7.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von

$p$ von der y-Koordinate

$k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.7.2

Setze die bekannten Werte von

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{7}{4}$

Schritt 1.8

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

$(3, 2)$

Brennpunkt:

$(3, \frac{9}{4})$

Symmetrieachse:

$x = 3$

Leitlinie:

$y = \frac{7}{4}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

$(3, 2)$

Brennpunkt:

$(3, \frac{9}{4})$

Symmetrieachse:

$x = 3$

Leitlinie:

$y = \frac{7}{4}$

Schritt 2

Wähle einige

$x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden

$y$ -Werte zu ermitteln. Die

$x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 11$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$f (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 11$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$2$ .

$f (2) = 4 - 12 + 11$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere

$12$ von

$4$ .

$f (2) = - 8 + 11$

Schritt 2.2.2.2

Addiere

$- 8$ und

$11$ .

$f (2) = 3$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist

$3$ .

$3$

Schritt 2.3

Der

$y$ -Wert bei

$x = 2$ ist

$3$ .

$y = 3$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 11$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1 + 11$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$1$ .

$f (1) = 1 - 6 + 11$

Schritt 2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere

$6$ von

$1$ .

$f (1) = - 5 + 11$

Schritt 2.5.2.2

Addiere

$- 5$ und

$11$ .

$f (1) = 6$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist

$6$ .

$6$

Schritt 2.6

Der

$y$ -Wert bei

$x = 1$ ist

$6$ .

$y = 6$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$4$ .

$f (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 11$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere

$4$ mit

$2$ .

$f (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 11$

Schritt 2.8.1.2

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$4$ .

$f (4) = 16 - 24 + 11$

Schritt 2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere

$24$ von

$16$ .

$f (4) = - 8 + 11$

Schritt 2.8.2.2

Addiere

$- 8$ und

$11$ .

$f (4) = 3$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist

$3$ .

$3$

Schritt 2.9

Der

$y$ -Wert bei

$x = 4$ ist

$3$ .

$y = 3$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$5$ .

$f (5) = {(5)}^{2} - 6 \cdot 5 + 11$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1.1

Potenziere

$5$ mit

$2$ .

$f (5) = 25 - 6 \cdot 5 + 11$

Schritt 2.11.1.2

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$5$ .

$f (5) = 25 - 30 + 11$

Schritt 2.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.11.2.1

Subtrahiere

$30$ von

$25$ .

$f (5) = - 5 + 11$

Schritt 2.11.2.2

Addiere

$- 5$ und

$11$ .

$f (5) = 6$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist

$6$ .

$6$

Schritt 2.12

Der

$y$ -Wert bei

$x = 5$ ist

$6$ .

$y = 6$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 6 \\ 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ 4 & 3 \\ 5 & 6 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

$(3, 2)$

Brennpunkt:

$(3, \frac{9}{4})$

Symmetrieachse:

$x = 3$

Leitlinie:

$y = \frac{7}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 6 \\ 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ 4 & 3 \\ 5 & 6 \end{array}$

Schritt 4