Algebra Beispiele

$\sqrt{4 y + 12} - \sqrt{y - 6} = 6$

Schritt 1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{4 y + 12} - \sqrt{y - 6} - 6 = 0$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y + 12$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$\sqrt{4 (y) + 12} - \sqrt{y - 6} - 6 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\sqrt{4 y + 4 \cdot 3} - \sqrt{y - 6} - 6 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 y + 4 \cdot 3$ heraus.

$\sqrt{4 (y + 3)} - \sqrt{y - 6} - 6 = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} (y + 3)} - \sqrt{y - 6} - 6 = 0$

Schritt 2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{y + 3} - \sqrt{y - 6} - 6 = 0$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{y + 3}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\sqrt{y - 6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{y + 3} - 6 = \sqrt{y - 6}$

Schritt 3.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \sqrt{y + 3} = \sqrt{y - 6} + 6$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{y + 3})}^{2} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 3}$ als ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(2 {(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(y + 3)}^{1} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Vereinfache.

$4 (y + 3) = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + 4 \cdot 3 = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$4 y + 12 = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$ als $(\sqrt{y - 6} + 6) (\sqrt{y - 6} + 6)$ um.

$4 y + 12 = (\sqrt{y - 6} + 6) (\sqrt{y - 6} + 6)$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{y - 6} + 6) (\sqrt{y - 6} + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + 12 = \sqrt{y - 6} (\sqrt{y - 6} + 6) + 6 (\sqrt{y - 6} + 6)$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + 12 = \sqrt{y - 6} \sqrt{y - 6} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 (\sqrt{y - 6} + 6)$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y + 12 = \sqrt{y - 6} \sqrt{y - 6} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Schritt 5.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{y - 6} \sqrt{y - 6}$ .

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Schritt 5.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{y - 6}$ mit $1$ .

$4 y + 12 = {\sqrt{y - 6}}^{1} \sqrt{y - 6} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Schritt 5.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{y - 6}$ mit $1$ .

$4 y + 12 = {\sqrt{y - 6}}^{1} {\sqrt{y - 6}}^{1} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Schritt 5.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 y + 12 = {\sqrt{y - 6}}^{1 + 1} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Schritt 5.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 y + 12 = {\sqrt{y - 6}}^{2} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Schritt 5.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{y - 6}}^{2}$ als $y - 6$ um.

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Schritt 5.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y - 6}$ als ${(y - 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 y + 12 = {({(y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Schritt 5.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + 12 = {(y - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Schritt 5.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$4 y + 12 = {(y - 6)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Schritt 5.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y + 12 = {(y - 6)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Schritt 5.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$4 y + 12 = {(y - 6)}^{1} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Schritt 5.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$4 y + 12 = y - 6 + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Schritt 5.3.1.3.1.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sqrt{y - 6}$ .

$4 y + 12 = y - 6 + 6 \cdot \sqrt{y - 6} + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Schritt 5.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$4 y + 12 = y - 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \sqrt{y - 6} + 36$

Schritt 5.3.1.3.2

Addiere $- 6$ und $36$ .

$4 y + 12 = y + 30 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \sqrt{y - 6}$

Schritt 5.3.1.3.3

Addiere $6 \sqrt{y - 6}$ und $6 \sqrt{y - 6}$ .

$4 y + 12 = y + 30 + 12 \sqrt{y - 6}$

Schritt 6

Löse nach $12 \sqrt{y - 6}$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $y + 30 + 12 \sqrt{y - 6} = 4 y + 12$ um.

$y + 30 + 12 \sqrt{y - 6} = 4 y + 12$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $12 \sqrt{y - 6}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$30 + 12 \sqrt{y - 6} = 4 y + 12 - y$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 \sqrt{y - 6} = 4 y + 12 - y - 30$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $y$ von $4 y$ .

$12 \sqrt{y - 6} = 3 y + 12 - 30$

Schritt 6.2.4

Subtrahiere $30$ von $12$ .

$12 \sqrt{y - 6} = 3 y - 18$

Schritt 7

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(12 \sqrt{y - 6})}^{2} = {(3 y - 18)}^{2}$

Schritt 8

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y - 6}$ als ${(y - 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(12 {(y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 18)}^{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache ${(12 {(y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Wende die Produktregel auf $12 {(y - 6)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$12^{2} {({(y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 18)}^{2}$

Schritt 8.2.1.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$144 {({(y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 18)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 {(y - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 18)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$144 {(y - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 18)}^{2}$

Schritt 8.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$144 {(y - 6)}^{1} = {(3 y - 18)}^{2}$

Schritt 8.2.1.4

Vereinfache.

$144 (y - 6) = {(3 y - 18)}^{2}$

Schritt 8.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$144 y + 144 \cdot - 6 = {(3 y - 18)}^{2}$

Schritt 8.2.1.6

Mutltipliziere $144$ mit $- 6$ .

$144 y - 864 = {(3 y - 18)}^{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache ${(3 y - 18)}^{2}$ .

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Schritt 8.3.1.1

Schreibe ${(3 y - 18)}^{2}$ als $(3 y - 18) (3 y - 18)$ um.

$144 y - 864 = (3 y - 18) (3 y - 18)$

Schritt 8.3.1.2

Multipliziere $(3 y - 18) (3 y - 18)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$144 y - 864 = 3 y (3 y - 18) - 18 (3 y - 18)$

Schritt 8.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$144 y - 864 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 18 - 18 (3 y - 18)$

Schritt 8.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$144 y - 864 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 18 - 18 (3 y) - 18 \cdot - 18$

Schritt 8.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$144 y - 864 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 18 - 18 (3 y) - 18 \cdot - 18$

Schritt 8.3.1.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.1.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$144 y - 864 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 18 - 18 (3 y) - 18 \cdot - 18$

Schritt 8.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$144 y - 864 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 18 - 18 (3 y) - 18 \cdot - 18$

Schritt 8.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$144 y - 864 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 18 - 18 (3 y) - 18 \cdot - 18$

Schritt 8.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 18$ mit $3$ .

$144 y - 864 = 9 y^{2} - 54 y - 18 (3 y) - 18 \cdot - 18$

Schritt 8.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 18$ .

$144 y - 864 = 9 y^{2} - 54 y - 54 y - 18 \cdot - 18$

Schritt 8.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 18$ .

$144 y - 864 = 9 y^{2} - 54 y - 54 y + 324$

Schritt 8.3.1.3.2

Subtrahiere $54 y$ von $- 54 y$ .

$144 y - 864 = 9 y^{2} - 108 y + 324$

Schritt 9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$9 y^{2} - 108 y + 324 = 144 y - 864$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $144 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} - 108 y + 324 - 144 y = - 864$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $144 y$ von $- 108 y$ .

$9 y^{2} - 252 y + 324 = - 864$

Schritt 9.3

Addiere $864$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} - 252 y + 324 + 864 = 0$

Schritt 9.4

Addiere $324$ und $864$ .

$9 y^{2} - 252 y + 1188 = 0$

Schritt 9.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.5.1

Faktorisiere $9$ aus $9 y^{2} - 252 y + 1188$ heraus.

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Schritt 9.5.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 y^{2}$ heraus.

$9 (y^{2}) - 252 y + 1188 = 0$

Schritt 9.5.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 252 y$ heraus.

$9 (y^{2}) + 9 (- 28 y) + 1188 = 0$

Schritt 9.5.1.3

Faktorisiere $9$ aus $1188$ heraus.

$9 y^{2} + 9 (- 28 y) + 9 \cdot 132 = 0$

Schritt 9.5.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 y^{2} + 9 (- 28 y)$ heraus.

$9 (y^{2} - 28 y) + 9 \cdot 132 = 0$

Schritt 9.5.1.5

Faktorisiere $9$ aus $9 (y^{2} - 28 y) + 9 \cdot 132$ heraus.

$9 (y^{2} - 28 y + 132) = 0$

Schritt 9.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 9.5.2.1

Faktorisiere $y^{2} - 28 y + 132$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.5.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $132$ und deren Summe $- 28$ ist.

$- 22, - 6$

Schritt 9.5.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$9 ((y - 22) (y - 6)) = 0$

Schritt 9.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$9 (y - 22) (y - 6) = 0$

Schritt 9.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 22 = 0$

$y - 6 = 0$

Schritt 9.7

Setze $y - 22$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 9.7.1

Setze $y - 22$ gleich $0$ .

$y - 22 = 0$

Schritt 9.7.2

Addiere $22$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 22$

Schritt 9.8

Setze $y - 6$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 9.8.1

Setze $y - 6$ gleich $0$ .

$y - 6 = 0$

Schritt 9.8.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 6$

Schritt 9.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $9 (y - 22) (y - 6) = 0$ wahr machen.

$y = 22, 6$