Algebra Beispiele

$0 > x^{2} + 5 x - 2$

Schritt 1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$x^{2} + 5 x - 2 < 0$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Addiere $25$ und $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

$x > - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$0 > {(- 8)}^{2} + 5 (- 8) - 2$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $22$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$0 > {(0)}^{2} + 5 (0) - 2$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $0$ ist größer als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$0 > {(3)}^{2} + 5 (3) - 2$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $22$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ Falsch

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ Wahr

$x > - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ Falsch

$x < - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ Falsch

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ Wahr

$x > - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} < x < - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, - \frac{5 - \sqrt{33}}{2})$

Schritt 11