Algebra Beispiele

$x^{\frac{3}{2}} = 8$

Schritt 1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{3}{2}} - 8 = 0$

Schritt 2

Schreibe $x^{\frac{3}{2}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ um.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 8 = 0$

Schritt 3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 2^{3} = 0$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x^{\frac{1}{2}}$ und $b = 2$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2^{2}) = 0$

Schritt 5.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

$x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Schritt 7

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 2$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Schritt 7.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Schritt 7.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Schritt 7.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 2^{2}$

Schritt 7.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 2^{2}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = 4$

Schritt 8

Setze $x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$ gleich $0$ .

$x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Schritt 8.2

Löse $x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{2}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x^{\frac{1}{2}}$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 4 = 0$

Schritt 8.2.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.2.3.1

Multipliziere $2$ mit $u$ .

$u^{2} + 2 u + 4 = 0$

Schritt 8.2.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.2.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 8.2.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.2.3.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$u = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 8.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.2.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 8.2.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.2.3.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$u = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 8.2.3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = - 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 8.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.2.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 8.2.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.2.3.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$u = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 8.2.3.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 8.2.3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 8.2.4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 8.2.5

Löse nach $x^{\frac{1}{2}} = - 1 + i \sqrt{3}$ auf für $x$ .

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Schritt 8.2.5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 8.2.5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.2.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.5.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 8.2.5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 8.2.5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 8.2.5.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 8.2.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.5.2.2.1

Vereinfache ${(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.5.2.2.1.1

Schreibe ${(- 1 + i \sqrt{3})}^{2}$ als $(- 1 + i \sqrt{3}) (- 1 + i \sqrt{3})$ um.

$x = (- 1 + i \sqrt{3}) (- 1 + i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.5.2.2.1.2

Multipliziere $(- 1 + i \sqrt{3}) (- 1 + i \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.2.5.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 (- 1 + i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (- 1 + i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.5.2.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot - 1 - 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (- 1 + i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.5.2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot - 1 - 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot - 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 - 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot - 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.2

Schreibe $- 1 (i \sqrt{3})$ als $- (i \sqrt{3})$ um.

$x = 1 - (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot - 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $i \sqrt{3}$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - 1 \cdot (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.4

Schreibe $- 1 (i \sqrt{3})$ als $- (i \sqrt{3})$ um.

$x = 1 - i \sqrt{3} - (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.5

Multipliziere $i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$ .

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Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.5.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{1} i \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.5.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{1} i^{1} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.5.5

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.5.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.5.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.5.8

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 {\sqrt{3}}^{2}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{1}$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 1 \cdot 3$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = 1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 3$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x = - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 2$

Schritt 8.2.5.2.2.1.3.3

Subtrahiere $i \sqrt{3}$ von $- i \sqrt{3}$ .

$x = - 2 i \sqrt{3} - 2$

Schritt 8.2.5.2.2.1.4

Stelle $- 2 i \sqrt{3}$ und $- 2$ um.

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 8.2.6

Löse nach $x^{\frac{1}{2}} = - 1 - i \sqrt{3}$ auf für $x$ .

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Schritt 8.2.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 8.2.6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 8.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 8.2.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 8.2.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 8.2.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$

Schritt 8.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.6.2.2.1

Vereinfache ${(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$ .

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Schritt 8.2.6.2.2.1.1

Schreibe ${(- 1 - i \sqrt{3})}^{2}$ als $(- 1 - i \sqrt{3}) (- 1 - i \sqrt{3})$ um.

$x = (- 1 - i \sqrt{3}) (- 1 - i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.6.2.2.1.2

Multipliziere $(- 1 - i \sqrt{3}) (- 1 - i \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 (- 1 - i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (- 1 - i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.6.2.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot - 1 - 1 (- i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (- 1 - i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.6.2.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot - 1 - 1 (- i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \cdot - 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 - 1 (- i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \cdot - 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.2

Multipliziere $- 1 (- i \sqrt{3})$ .

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 + 1 (i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \cdot - 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i - i \sqrt{3} \cdot - 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.3

Multipliziere $- i \sqrt{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + 1 i \sqrt{3} - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.4

Multipliziere $- i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$ .

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 1 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i (i \sqrt{3})$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} i i$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} i i$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1 + 1} i i$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i i$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.4.7

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i)$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.4.8

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i^{1})$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.4.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{1 + 1}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.4.10

Addiere $1$ und $1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{1} i^{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 i^{2}$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 \cdot - 1$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - 3$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x = - 2 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i$

Schritt 8.2.6.2.2.1.3.3

Addiere $\sqrt{3} i$ und $\sqrt{3} i$ .

$x = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Schritt 8.2.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}, - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{\frac{1}{2}} - 2) (x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 2 - 2 i \sqrt{3}, - 2 + 2 \sqrt{3} i$