Algebra Beispiele

$x^{6} - y^{6}$

Schritt 1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

${(x^{2})}^{3} - y^{6}$

Schritt 2

Schreibe $y^{6}$ als ${(y^{2})}^{3}$ um.

${(x^{2})}^{3} - {(y^{2})}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x^{2}$ und $b = y^{2}$ .

$(x^{2} - y^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$(x + y) (x - y) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + y) (x - y) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x + y) (x - y) (x^{4} + x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2})$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + y) (x - y) (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{2 \cdot 2})$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x + y) (x - y) (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4})$

Schritt 4.4

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.4.1.1

Forme den mittleren Term um.

$(x + y) (x - y) (x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - x^{2} y^{2} + y^{4})$

Schritt 4.4.1.2

Ordne Terme um.

$(x + y) (x - y) (x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} - x^{2} y^{2})$

Schritt 4.4.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$(x + y) (x - y) ({(x^{2} + y^{2})}^{2} - x^{2} y^{2})$

Schritt 4.4.1.4

Schreibe $x^{2} y^{2}$ als ${(x y)}^{2}$ um.

$(x + y) (x - y) ({(x^{2} + y^{2})}^{2} - {(x y)}^{2})$

Schritt 4.4.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2} + y^{2}$ und $b = x y$ .

$(x + y) (x - y) ((x^{2} + y^{2} + x y) (x^{2} + y^{2} - (x y)))$

Schritt 4.4.1.6

Entferne die Klammern.

$(x + y) (x - y) ((x^{2} + y^{2} + x y) (x^{2} + y^{2} - x y))$

Schritt 4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2} + x y) (x^{2} + y^{2} - x y)$