Algebra Beispiele

$y = \sqrt{9 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \sqrt{9 - x^{2}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $3 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Setze $3 + x$ gleich $0$ .

$3 + x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 1.2.3

Setze $3 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Setze $3 - x$ gleich $0$ .

$3 - x = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $3 - x = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 1.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 1.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 1.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 1.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 1.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.1.3

Die linke Seite $- 27$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.2.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 1.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Schritt 1.2.6.3.3

Die linke Seite $- 27$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 1.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 \leq x \leq 3$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 3, 3]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Intervallschreibweise:

$[- 3, 3]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Schritt 2

Um die Endpunkte zu finden, setze die Schranken der $x$ -Werte des Definitionsbereichs in $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 3) = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{0 (3 - (- 3))}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{0 (3 + 3)}$

Schritt 2.2.4

Addiere $3$ und $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{0 \cdot 6}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $6$ .

$f (- 3) = \sqrt{0}$

Schritt 2.2.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- 3) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 3) = 0$

Schritt 2.2.8

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \sqrt{(3 + 3) (3 - (3))}$

Schritt 2.4

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Entferne die Klammern.

$f (3) = \sqrt{(3 + 3) (3 - (3))}$

Schritt 2.4.2

Addiere $3$ und $3$ .

$f (3) = \sqrt{6 (3 - (3))}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (3) = \sqrt{6 (3 - 3)}$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (3) = \sqrt{6 \cdot 0}$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$f (3) = \sqrt{0}$

Schritt 2.4.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (3) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (3) = 0$

Schritt 2.4.8

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Die Endpunkte sind $(- 3, 0), (3, 0)$ .

$(- 3, 0), (3, 0)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, \sqrt{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{(3 - 2) (3 - (- 2))}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 2) = \sqrt{(3 - 2) (3 - (- 2))}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (- 2) = \sqrt{1 (3 - (- 2))}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $3 - (- 2)$ mit $1$ .

$f (- 2) = \sqrt{3 - (- 2)}$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{3 + 2}$

Schritt 4.1.2.5

Addiere $3$ und $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{5}$

Schritt 4.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, 2 \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{(3 - 1) (3 - (- 1))}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- 1) = \sqrt{(3 - 1) (3 - (- 1))}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (- 1) = \sqrt{2 (3 - (- 1))}$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{2 (3 + 1)}$

Schritt 4.2.2.4

Addiere $3$ und $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- 1) = \sqrt{8}$

Schritt 4.2.2.6

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (- 1) = \sqrt{4 (2)}$

Schritt 4.2.2.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 1) = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 1) = 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.2.2.8

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Entferne die Klammern.

$f (0) = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $3$ und $0$ .

$f (0) = \sqrt{3 (3 - (0))}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \sqrt{3 (3 + 0)}$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $3$ und $0$ .

$f (0) = \sqrt{3 \cdot 3}$

Schritt 4.3.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (0) = \sqrt{9}$

Schritt 4.3.2.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (0) = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.3.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 3$

Schritt 4.3.2.8

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 2 \sqrt{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \sqrt{(3 + 1) (3 - (1))}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = \sqrt{(3 + 1) (3 - (1))}$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$f (1) = \sqrt{4 (3 - (1))}$

Schritt 4.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{4 (3 - 1)}$

Schritt 4.4.2.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (1) = \sqrt{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (1) = \sqrt{8}$

Schritt 4.4.2.6

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (1) = \sqrt{4 (2)}$

Schritt 4.4.2.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (1) = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (1) = 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.4.2.8

Die endgültige Lösung ist $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.5

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, \sqrt{5})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \sqrt{(3 + 2) (3 - (2))}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = \sqrt{(3 + 2) (3 - (2))}$

Schritt 4.5.2.2

Addiere $3$ und $2$ .

$f (2) = \sqrt{5 (3 - (2))}$

Schritt 4.5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = \sqrt{5 (3 - 2)}$

Schritt 4.5.2.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (2) = \sqrt{5 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (2) = \sqrt{5}$

Schritt 4.5.2.6

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

Schritt 4.6

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- 3, 0), (3, 0), (- 2, 2.24), (- 1, 2.83), (0, 3), (1, 2.83), (2, 2.24)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 2.24 \\ - 1 & 2.83 \\ 0 & 3 \\ 1 & 2.83 \\ 2 & 2.24 \\ 3 & 0 \end{array}$

Schritt 5