Algebra Beispiele

$x^{2} = \sqrt{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - \sqrt{x} = 0$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $- x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{3}{2}} - 1) = 0$

Schritt 4

Schreibe $x^{\frac{3}{2}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ um.

$x^{\frac{1}{2}} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 1) = 0$

Schritt 5

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{\frac{1}{2}} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 1^{3}) = 0$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x^{\frac{1}{2}}$ und $b = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} ((x^{\frac{1}{2}} - 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} ((x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 7.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2}} ((x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 7.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{2}} ((x^{\frac{1}{2}} - 1) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 7.1.2

Vereinfache.

$x^{\frac{1}{2}} ((x^{\frac{1}{2}} - 1) (x + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} ((x^{\frac{1}{2}} - 1) (x + x^{\frac{1}{2}} + 1^{2})) = 0$

Schritt 7.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{\frac{1}{2}} ((x^{\frac{1}{2}} - 1) (x + x^{\frac{1}{2}} + 1)) = 0$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

$x + x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

Schritt 9

Setze $x^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 9.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 9.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{2}$

Schritt 9.2.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{2}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 10

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $x^{\frac{1}{2}} - 1$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Schritt 10.2

Löse $x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{2}} = 1$

Schritt 10.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Schritt 10.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 10.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 1^{2}$

Schritt 10.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 1^{2}$

Schritt 10.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = 1$

Schritt 11

Setze $x + x^{\frac{1}{2}} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $x + x^{\frac{1}{2}} + 1$ gleich $0$ .

$x + x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $x + x^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{2}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} + 1$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x^{\frac{1}{2}}$ durch $u$ .

${(u)}^{2} + u + 1 = 0$

Schritt 11.2.3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 11.2.3.1

Entferne die Klammern.

$u^{2} + u + 1 = 0$

Schritt 11.2.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 11.2.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 11.2.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.3.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 11.2.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.2.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.3.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 11.2.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.3.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.3.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$u = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.3.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$u = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 11.2.3.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$u = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 11.2.3.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.2.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.3.6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 11.2.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.6.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.6.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$u = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.3.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.3.6.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$u = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.3.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$u = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 11.2.3.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$u = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 11.2.3.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.5

Löse nach $x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ auf für $x$ .

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Schritt 11.2.5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 11.2.5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 11.2.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.5.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 11.2.5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 11.2.5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 11.2.5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 11.2.5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 11.2.5.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 11.2.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.5.2.2.1

Vereinfache ${(- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Schritt 11.2.5.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 11.2.5.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ an.

$x = {(- 1)}^{2} {(\frac{1 - i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ an.

$x = {(- 1)}^{2} \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.5.2.2.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 1 \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x = \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{{(1 - i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.2.4

Schreibe ${(1 - i \sqrt{3})}^{2}$ als $(1 - i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3})$ um.

$x = \frac{(1 - i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.3

Multipliziere $(1 - i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.2.5.2.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1 (1 - i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \cdot 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + 1 (- i \sqrt{3}) - i \sqrt{3} \cdot 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- i \sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} \cdot 1 - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.4

Multipliziere $- i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$ .

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Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 1 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + \sqrt{3} i (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} i i}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} i i}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1} i i}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} i i}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.4.7

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i)}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.4.8

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i^{1})}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.4.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} i^{1 + 1}}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.4.10

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3^{1} i^{2}}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3 i^{2}}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 3 \cdot - 1}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 3}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x = \frac{- i \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 2}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.4.3

Subtrahiere $i \sqrt{3}$ von $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 2 i \sqrt{3} - 2}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.5

Stelle $- 2 i \sqrt{3}$ und $- 2$ um.

$x = \frac{- 2 - 2 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 - 2 i \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 11.2.5.2.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x = \frac{2 (- 1) - 2 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{2 (- 1) + 2 (- i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 1) + 2 (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{2 (- 1 - i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.5.2.2.1.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (- 1 - i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (- 1 - i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 (1) - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1) - (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 11.2.5.2.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.6

Löse nach $x^{\frac{1}{2}} = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ auf für $x$ .

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Schritt 11.2.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 11.2.6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 11.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 11.2.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 11.2.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 11.2.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 11.2.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 11.2.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 11.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.2.6.2.2.1

Vereinfache ${(- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

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Schritt 11.2.6.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 11.2.6.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ an.

$x = {(- 1)}^{2} {(\frac{1 + i \sqrt{3}}{2})}^{2}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ an.

$x = {(- 1)}^{2} \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.6.2.2.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = 1 \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$x = \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{2}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.2.4

Schreibe ${(1 + i \sqrt{3})}^{2}$ als $(1 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})$ um.

$x = \frac{(1 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.3

Multipliziere $(1 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.2.6.2.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1 (1 + i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1 \cdot 1 + 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{1 \cdot 1 + 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + 1 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $i \sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.3

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.4

Multipliziere $i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$ .

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Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.4.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1} i \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1} i^{1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.4.5

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.4.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{1}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 3}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x = \frac{i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 2}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.4.3

Addiere $i \sqrt{3}$ und $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{2 i \sqrt{3} - 2}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.5

Stelle $2 i \sqrt{3}$ und $- 2$ um.

$x = \frac{- 2 + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 + 2 i \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 11.2.6.2.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 1 + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot - 1 + 2 (i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 1 + 2 (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot (- 1 + i \sqrt{3})}{4}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.6.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.6.2.2.1.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot (- 1 + i \sqrt{3})}{2 (2)}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot (- 1 + i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.7

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 (1) + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.8

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1) - (- i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 11.2.6.2.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 11.2.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) (x + x^{\frac{1}{2}} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$