Algebra Beispiele

$x^{6} - 1$

Schritt 1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

${(x^{2})}^{3} - 1$

Schritt 2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(x^{2})}^{3} - 1^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Schritt 5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})$

Schritt 6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Schreibe $x^{4} + x^{2} + 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 7.1.1

Forme den mittleren Term um.

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 - x^{2} + 1)$

Schritt 7.1.2

Ordne Terme um.

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 - x^{2})$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2})$

Schritt 7.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2} + 1$ und $b = x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x))$

Schritt 7.1.5

Vereinfache.

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Schritt 7.1.5.1

Stelle die Terme um.

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1 - x))$

Schritt 7.1.5.2

Stelle die Terme um.

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1))$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$