Algebra Beispiele

$\log_{6} (x) + \log_{6} (x - 5) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} (x (x - 5)) = 2$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot - 5) = 2$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot - 5) = 2$

Schritt 1.3.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{6} (x^{2} - 5 x) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log_{6} (x^{2} - 5 x) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{2} = x^{2} - 5 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 5 x = 6^{2}$ um.

$x^{2} - 5 x = 6^{2}$

Schritt 3.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x^{2} - 5 x = 36$

Schritt 3.3

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 5 x - 36 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x^{2} - 5 x - 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 36$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 9, 4$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 9) (x + 4) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 3.7

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 9) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 9, - 4$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{6} (x) + \log_{6} (x - 5) = 2$ nicht erfüllen.

$x = 9$