Algebra Beispiele

y = x^{2} - 2

$y = x^{2} - 2$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf

x^{2} - 2

$x^{2} - 2$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Wende die Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für

a

$a$ ,

b

$b$ und

c

$c$ zu ermitteln.

a = 1

$a = 1$

b = 0

$b = 0$

c = - 2

$c = - 2$

Schritt 1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.3

Ermittle den Wert von

d

$d$ mithilfe der Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Setze die Werte von

a

$a$ und

b

$b$ in die Formel

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ ein.

d = \frac{0}{2 \cdot 1}

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von

0

$0$ und

2

$2$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

0

$0$ heraus.

d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere

2

$2$ aus

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ heraus.

d = \frac{2 (0)}{2 (1)}

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{1}$

Schritt 1.1.1.3.2.2.4

Dividiere

$0$ durch

$1$ .

$d = 0$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von

$e$ mithilfe der Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von

$c$ ,

$b$ , und

$a$ in die Formel

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 2 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$e = - 2 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere

$4$ mit

$1$ .

$e = - 2 - \frac{0}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.3

Dividiere

$0$ durch

$4$ .

$e = - 2 - 0$

Schritt 1.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$0$ .

$e = - 2 + 0$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Addiere

$- 2$ und

$0$ .

$e = - 2$

Schritt 1.1.1.5

Setze die Werte von

$a$ ,

$d$ und

$e$ in die Scheitelform

${(x + 0)}^{2} - 2$ ein.

${(x + 0)}^{2} - 2$

Schritt 1.1.2

Setze

$y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x + 0)}^{2} - 2$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von

$a$ ,

$h$ und

$k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = 0$

$k = - 2$

Schritt 1.3

Da der Wert von

$a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt

$(h, k)$ .

$(0, - 2)$

Schritt 1.5

Berechne

$p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von

$a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$1$ .

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Schritt 1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von

$p$ zur y-Koordinate

$k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von

$h$ ,

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, - \frac{7}{4})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 0$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von

$p$ von der y-Koordinate

$k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von

$p$ und

$k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{9}{4}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

$(0, - 2)$

Brennpunkt:

$(0, - \frac{7}{4})$

Symmetrieachse:

$x = 0$

Leitlinie:

$y = - \frac{9}{4}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

$(0, - 2)$

Brennpunkt:

$(0, - \frac{7}{4})$

Symmetrieachse:

$x = 0$

Leitlinie:

$y = - \frac{9}{4}$

Schritt 2

Wähle einige

$x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden

$y$ -Werte zu ermitteln. Die

$x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Potenziere

$- 1$ mit

$2$ .

$f (- 1) = 1 - 2$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere

$2$ von

$1$ .

$f (- 1) = - 1$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist

$- 1$ .

$- 1$

Schritt 2.3

Der

$y$ -Wert bei

$x = - 1$ ist

$- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - 2$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Potenziere

$- 2$ mit

$2$ .

$f (- 2) = 4 - 2$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere

$2$ von

$4$ .

$f (- 2) = 2$

Schritt 2.5.3

Die endgültige Lösung ist

$2$ .

$2$

Schritt 2.6

Der

$y$ -Wert bei

$x = - 2$ ist

$2$ .

$y = 2$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - 2$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 2$

Schritt 2.8.2

Subtrahiere

$2$ von

$1$ .

$f (1) = - 1$

Schritt 2.8.3

Die endgültige Lösung ist

$- 1$ .

$- 1$

Schritt 2.9

Der

$y$ -Wert bei

$x = 1$ ist

$- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable

$x$ durch

$2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} - 2$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Potenziere

$2$ mit

$2$ .

$f (2) = 4 - 2$

Schritt 2.11.2

Subtrahiere

$2$ von

$4$ .

$f (2) = 2$

Schritt 2.11.3

Die endgültige Lösung ist

$2$ .

$2$

Schritt 2.12

Der

$y$ -Wert bei

$x = 2$ ist

$2$ .

$y = 2$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 2 & 2 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt:

$(0, - 2)$

Brennpunkt:

$(0, - \frac{7}{4})$

Symmetrieachse:

$x = 0$

Leitlinie:

$y = - \frac{9}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 2 & 2 \end{array}$

Schritt 4