Algebra Beispiele

Find the equation of the line that is perpendicular to

y = - \frac{1}{5} x - 3

$y = - \frac{1}{5} x - 3$ and contains the point

(1, 2)

$(1, 2)$

Schritt 1

Ermittle die Steigung für

y = - \frac{1}{5} x - 3

$y = - \frac{1}{5} x - 3$ .

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Schritt 1.1

Forme zur Normalform um.

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Schritt 1.1.1

Die Normalform ist

y = m x + b

$y = m x + b$ , wobei

m

$m$ die Steigung und

b

$b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

y = m x + b

$y = m x + b$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere

x

$x$ und

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ .

y = - \frac{x}{5} - 3

$y = - \frac{x}{5} - 3$

y = - \frac{x}{5} - 3

$y = - \frac{x}{5} - 3$

Schritt 1.1.3

Schreibe in

y = m x + b

$y = m x + b$ -Form.

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Schritt 1.1.3.1

Stelle die Terme um.

y = - (\frac{1}{5} x) - 3

$y = - (\frac{1}{5} x) - 3$

Schritt 1.1.3.2

Entferne die Klammern.

y = - \frac{1}{5} x - 3

$y = - \frac{1}{5} x - 3$

y = - \frac{1}{5} x - 3

$y = - \frac{1}{5} x - 3$

y = - \frac{1}{5} x - 3

$y = - \frac{1}{5} x - 3$

Schritt 1.2

Gemäß der Normalform ist die Steigung

- \frac{1}{5}

$- \frac{1}{5}$ .

m = - \frac{1}{5}

$m = - \frac{1}{5}$

m = - \frac{1}{5}

$m = - \frac{1}{5}$

Schritt 2

Die Gleichung für die senkrechte Gerade muss eine Steigung haben, die gleich dem negativen Kehrwert der ursprünglichen Steigung ist.

m_{senkrecht} = - \frac{1}{- \frac{1}{5}}

$m_{senkrecht} = - \frac{1}{- \frac{1}{5}}$

Schritt 3

Vereinfache

- \frac{1}{- \frac{1}{5}}

$- \frac{1}{- \frac{1}{5}}$ , um die Steigung der senkrechten Geraden zu bestimmen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von

1

$1$ und

- 1

$- 1$ .

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Schritt 3.1.1

Schreibe

1

$1$ als

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ um.

m_{senkrecht} = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{5}}

$m_{senkrecht} = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{5}}$

Schritt 3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

m_{senkrecht} = \frac{1}{\frac{1}{5}}

$m_{senkrecht} = \frac{1}{\frac{1}{5}}$

m_{senkrecht} = \frac{1}{\frac{1}{5}}

$m_{senkrecht} = \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

m_{senkrecht} = 1 \cdot 5

$m_{senkrecht} = 1 \cdot 5$

Schritt 3.3

Multipliziere

- - (1 \cdot 5)

$- - (1 \cdot 5)$ .

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere

5

$5$ mit

1

$1$ .

m_{senkrecht} = - (- 1 \cdot 5)

$m_{senkrecht} = - (- 1 \cdot 5)$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

5

$5$ .

m_{senkrecht} = 5

$m_{senkrecht} = 5$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 5

$- 5$ .

m_{senkrecht} = 5

$m_{senkrecht} = 5$

m_{senkrecht} = 5

$m_{senkrecht} = 5$

m_{senkrecht} = 5

$m_{senkrecht} = 5$

Schritt 4

Ermittle die Gleichung der Senkrechten durch Anwendung der Punkt-Steigungs-Form.

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Schritt 4.1

Benutze die Steigung

5

$5$ und einen gegebenen Punkt

(1, 2)

$(1, 2)$ , um

x_{1}

$x_{1}$ und

y_{1}

$y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form

y - y_{1} = m (x - x_{1})

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

y - (2) = 5 \cdot (x - (1))

$y - (2) = 5 \cdot (x - (1))$

Schritt 4.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

y - 2 = 5 \cdot (x - 1)

$y - 2 = 5 \cdot (x - 1)$

y - 2 = 5 \cdot (x - 1)

$y - 2 = 5 \cdot (x - 1)$

Schritt 5

Löse nach

y

$y$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache

5 \cdot (x - 1)

$5 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

y - 2 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 1)

$y - 2 = 0 + 0 + 5 \cdot (x - 1)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

y - 2 = 5 \cdot (x - 1)

$y - 2 = 5 \cdot (x - 1)$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

y - 2 = 5 x + 5 \cdot - 1

$y - 2 = 5 x + 5 \cdot - 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere

5

$5$ mit

- 1

$- 1$ .

y - 2 = 5 x - 5

$y - 2 = 5 x - 5$

y - 2 = 5 x - 5

$y - 2 = 5 x - 5$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht

y

$y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere

2

$2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

y = 5 x - 5 + 2

$y = 5 x - 5 + 2$

Schritt 5.2.2

Addiere

- 5

$- 5$ und

2

$2$ .

y = 5 x - 3

$y = 5 x - 3$

y = 5 x - 3

$y = 5 x - 3$

y = 5 x - 3

$y = 5 x - 3$

Schritt 6