Algebra Beispiele

$3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 2 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$6 x - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x - 2$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$2 (3 x) - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (3 x) + 2 (- 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (3 x - 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} = 0$

Schritt 1.3.3

Multipliziere mit $1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Schritt 1.3.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ heraus.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Schritt 1.3.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1$ heraus.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.4.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 1.4.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Schritt 1.4.1.1.2

Schreibe $- 4$ um als $- 1$ plus $- 3$

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

Schritt 1.4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

Schritt 1.4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.4.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

Schritt 1.4.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $3 x - 1$ aus $2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ heraus.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $3 x - 1$ aus $2 (3 x - 1)$ heraus.

$(3 x - 1) \cdot 2 + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $3 x - 1$ aus $x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ heraus.

$(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1)) = 0$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $3 x - 1$ aus $(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1))$ heraus.

$(3 x - 1) (2 + x^{2} (x - 1)) = 0$

Schritt 1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Schritt 1.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(3 x - 1) (2 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Schritt 1.7.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Schritt 1.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - 1 x^{2}) = 0$

Schritt 1.9

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - x^{2}) = 0$

Schritt 1.10

Stelle die Terme um.

$(3 x - 1) (x^{3} - x^{2} + 2) = 0$

Schritt 1.11

Faktorisiere.

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Schritt 1.11.1

Faktorisiere $x^{3} - x^{2} + 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.11.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 1.11.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 1.11.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.11.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 2$

Schritt 1.11.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - {(- 1)}^{2} + 2$

Schritt 1.11.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 1 \cdot 1 + 2$

Schritt 1.11.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - 1 + 2$

Schritt 1.11.1.3.5

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$- 2 + 2$

Schritt 1.11.1.3.6

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 1.11.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 2}{x + 1}$

Schritt 1.11.1.5

Dividiere $x^{3} - x^{2} + 2$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.11.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Schritt 1.11.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Schritt 1.11.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 1.11.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 1.11.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 1.11.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 1.11.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 1.11.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 1.11.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 1.11.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

Schritt 1.11.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 1.11.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 1.11.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 1.11.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x + 2$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 1.11.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Schritt 1.11.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 2 x + 2$

Schritt 1.11.1.6

Schreibe $x^{3} - x^{2} + 2$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)) = 0$

Schritt 1.11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Schritt 3

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5

Setze $x^{2} - 2 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} - 2 x + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i, 1 - i$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, - 1, 1 + i, 1 - i$

Schritt 7