Algebra Beispiele

$P (x) = - 5 x^{3} - 4 x^{2} + x$

Schritt 1

Setze $- 5 x^{3} - 4 x^{2} + x$ gleich $0$ .

$- 5 x^{3} - 4 x^{2} + x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- x$ aus $- 5 x^{3} - 4 x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $- x$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$- x (5 x^{2}) - 4 x^{2} + x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $- x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$- x (5 x^{2}) - x (4 x) + x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Schreibe $x$ als $1 x$ um.

$- x (5 x^{2}) - x (4 x) + 1 x = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $- x$ aus $1 x$ heraus.

$- x (5 x^{2}) - x (4 x) - x \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $- x$ aus $- x (5 x^{2}) - x (4 x)$ heraus.

$- x (5 x^{2} + 4 x) - x \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.1.1.6

Faktorisiere $- x$ aus $- x (5 x^{2} + 4 x) - x (- 1)$ heraus.

$- x (5 x^{2} + 4 x - 1) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$- x (5 x^{2} + 4 (x) - 1) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Schreibe $4$ um als $- 1$ plus $5$

$- x (5 x^{2} + (- 1 + 5) x - 1) = 0$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x (5 x^{2} - 1 x + 5 x - 1) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x ((5 x^{2} - 1 x) + 5 x - 1) = 0$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x (x (5 x - 1) + 1 (5 x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 1$ .

$- x ((5 x - 1) (x + 1)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- x (5 x - 1) (x + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$5 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $5 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $5 x - 1$ gleich $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $5 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 1$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 2.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (5 x - 1) (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{5}, - 1$

Schritt 3