Algebra Beispiele

$P (x) = 2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$

Schritt 1

Setze $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ gleich $0$ .

$2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Schritt 2.1.1.3

Setze $0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze $0.5$ in das Polynom ein.

$2 \cdot {0.5}^{6} - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.2

Potenziere $0.5$ mit $6$ .

$2 \cdot 0.015625 - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0.015625$ .

$0.03125 - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.4

Potenziere $0.5$ mit $5$ .

$0.03125 - 3 \cdot 0.03125 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $0.03125$ .

$0.03125 - 0.09375 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.6

Subtrahiere $0.09375$ von $0.03125$ .

$- 0.0625 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.7

Potenziere $0.5$ mit $4$ .

$- 0.0625 - 13 \cdot 0.0625 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.8

Mutltipliziere $- 13$ mit $0.0625$ .

$- 0.0625 - 0.8125 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.9

Subtrahiere $0.8125$ von $- 0.0625$ .

$- 0.875 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.10

Potenziere $0.5$ mit $3$ .

$- 0.875 + 29 \cdot 0.125 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.11

Mutltipliziere $29$ mit $0.125$ .

$- 0.875 + 3.625 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.12

Addiere $- 0.875$ und $3.625$ .

$2.75 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.13

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$2.75 - 27 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.14

Mutltipliziere $- 27$ mit $0.25$ .

$2.75 - 6.75 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.15

Subtrahiere $6.75$ von $2.75$ .

$- 4 + 32 \cdot 0.5 - 12$

Schritt 2.1.1.3.16

Mutltipliziere $32$ mit $0.5$ .

$- 4 + 16 - 12$

Schritt 2.1.1.3.17

Addiere $- 4$ und $16$ .

$12 - 12$

Schritt 2.1.1.3.18

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 2.1.1.4

Da $0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12}{2 x - 1}$

Schritt 2.1.1.5

Dividiere $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ durch $2 x - 1$ .

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Schritt 2.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

Schritt 2.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{6}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$x^{5}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$

Schritt 2.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

Schritt 2.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{6} - x^{5}$

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

Schritt 2.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

Schritt 2.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{5}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$
			-	$2 x^{6}$	+	$x^{5}$
					-	$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{5}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{5}$	-	$x^{4}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$
			-	$2 x^{6}$	+	$x^{5}$
					-	$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{5} + x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

Schritt 2.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 14 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 14 x^{4} + 7 x^{3}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

Schritt 2.1.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $22 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $22 x^{3} - 11 x^{2}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

Schritt 2.1.1.5.21

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

Schritt 2.1.1.5.22

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 16 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

Schritt 2.1.1.5.23

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Schritt 2.1.1.5.24

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 16 x^{2} + 8 x$

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

Schritt 2.1.1.5.25

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

Schritt 2.1.1.5.26

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

Schritt 2.1.1.5.27

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $24 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

Schritt 2.1.1.5.28

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

Schritt 2.1.1.5.29

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $24 x - 12$

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

Schritt 2.1.1.5.30

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

$0$

Schritt 2.1.1.5.31

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12$

Schritt 2.1.1.6

Schreibe $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 1) (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12) = 0$

Schritt 2.1.2

Gruppiere die Terme um.

$(2 x - 1) (x^{5} - x^{4} - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - x^{4} - 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} - x^{4} - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{4}$ heraus.

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x$ heraus.

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x \cdot - 8 - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- x^{3})$ heraus.

$(2 x - 1) (x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot - 8 - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot - 8$ heraus.

$(2 x - 1) (x (x^{4} - x^{3} - 8) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $x^{4} - x^{3} - 8$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Schritt 2.1.4.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{4} - 2^{3} - 8$

Schritt 2.1.4.1.3.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 - 2^{3} - 8$

Schritt 2.1.4.1.3.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$16 - 1 \cdot 8 - 8$

Schritt 2.1.4.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$16 - 8 - 8$

Schritt 2.1.4.1.3.5

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$8 - 8$

Schritt 2.1.4.1.3.6

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$0$

Schritt 2.1.4.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 8}{x - 2}$

Schritt 2.1.4.1.5

Dividiere $x^{4} - x^{3} - 8$ durch $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

Schritt 2.1.4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

Schritt 2.1.4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 2.1.4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 2.1.4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

Schritt 2.1.4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.1.4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.1.4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Schritt 2.1.4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{2} - 4 x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Schritt 2.1.4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

Schritt 2.1.4.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Schritt 2.1.4.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

Schritt 2.1.4.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Schritt 2.1.4.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x - 8$

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

Schritt 2.1.4.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

Schritt 2.1.4.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 4$

Schritt 2.1.4.1.6

Schreibe $x^{4} - x^{3} - 8$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 1) (x ((x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x - 1) (x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 7$

Schritt 2.1.5.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 12, \pm 1.\overline{714285}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}, \pm 6, \pm 0.\overline{857142}, \pm 3, \pm 0.\overline{428571}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}$

Schritt 2.1.5.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$- 7 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Schritt 2.1.5.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- 7 \cdot 8 + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Schritt 2.1.5.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $8$ .

$- 56 + 11 \cdot 2^{2} + 12$

Schritt 2.1.5.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 56 + 11 \cdot 4 + 12$

Schritt 2.1.5.3.5

Mutltipliziere $11$ mit $4$ .

$- 56 + 44 + 12$

Schritt 2.1.5.3.6

Addiere $- 56$ und $44$ .

$- 12 + 12$

Schritt 2.1.5.3.7

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0$

Schritt 2.1.5.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12}{x - 2}$

Schritt 2.1.5.5

Dividiere $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ durch $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.5.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$0 x$

$12$

Schritt 2.1.5.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$7 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$

Schritt 2.1.5.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			-	$7 x^{3}$	+	$14 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 x^{3} + 14 x^{2}$

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.1.5.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.1.5.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 2.1.5.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{2} + 6 x$

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 2.1.5.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

Schritt 2.1.5.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Schritt 2.1.5.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Schritt 2.1.5.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Schritt 2.1.5.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x + 12$

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Schritt 2.1.5.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Schritt 2.1.5.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 7 x^{2} - 3 x - 6$

Schritt 2.1.5.6

Schreibe $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(2 x - 1) (x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $x - 2$ aus $x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)$ heraus.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)$ heraus.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)$ heraus.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.1.8.1

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.8.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.8.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{1 + 3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.8.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.8.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.8.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.8.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.8.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.8.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.8.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x \cdot x + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.9

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.9.1

Bewege $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.10

Subtrahiere $7 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 3 x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.11

Subtrahiere $3 x$ von $4 x$ .

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Schritt 2.1.11.1

Subtrahiere $3 x$ von $4 x$ .

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6)) = 0$

Schritt 2.1.11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x - 1) (x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Setze $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ gleich $0$ .

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{3} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.5.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + x$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.5.2.1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.5.2.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.5.2.1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ heraus.

$x (x^{2} + 1) + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.5.2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.5.2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + u^{2} - 5 u - 6 = 0$

Schritt 2.5.2.1.5

Faktorisiere $u^{2} - 5 u - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.2.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 6, 1$

Schritt 2.5.2.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x (x^{2} + 1) + (u - 6) (u + 1) = 0$

Schritt 2.5.2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.5.2.1.7

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $x (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.5.2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.5.2.1.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.5.2.1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.5.2.1.9

Faktorisiere $u + u^{2} - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.2.1.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 2.5.2.1.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

Schritt 2.5.2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.2.1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Schritt 2.5.2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

Schritt 2.5.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2.3

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.3.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.5.2.3.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.5.2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.5.2.3.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.5.2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.5.2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.5.2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.5.2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.5.2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5.2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.5.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = i, - i, 2, - 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, 2, i, - i, - 3$

Schritt 3