Algebra Beispiele

f (x) = 4 x \sqrt{3 - x}

$f (x) = 4 x \sqrt{3 - x}$

Schritt 1

Setze

4 x \sqrt{3 - x}

$4 x \sqrt{3 - x}$ gleich

0

$0$ .

4 x \sqrt{3 - x} = 0

$4 x \sqrt{3 - x} = 0$

Schritt 2

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

{(4 x \sqrt{3 - x})}^{2} = 0^{2}

${(4 x \sqrt{3 - x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{3 - x}

$\sqrt{3 - x}$ als

{(3 - x)}^{\frac{1}{2}}

${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

{(4 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}

${(4 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache

{(4 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(4 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel

{(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf

4 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}

$4 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

{(4 x)}^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}

${(4 x)}^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf

4 x

$4 x$ an.

4^{2} x^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}

$4^{2} x^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

4^{2} x^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}

$4^{2} x^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Potenziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

16 x^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}

$16 x^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in

{({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

16 x^{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}

$16 x^{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

16 x^{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}

$16 x^{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

16 x^{2} {(3 - x)}^{1} = 0^{2}

$16 x^{2} {(3 - x)}^{1} = 0^{2}$

16 x^{2} {(3 - x)}^{1} = 0^{2}

$16 x^{2} {(3 - x)}^{1} = 0^{2}$

16 x^{2} {(3 - x)}^{1} = 0^{2}

$16 x^{2} {(3 - x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4

Vereinfache.

16 x^{2} (3 - x) = 0^{2}

$16 x^{2} (3 - x) = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.2.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

16 x^{2} \cdot 3 + 16 x^{2} (- x) = 0^{2}

$16 x^{2} \cdot 3 + 16 x^{2} (- x) = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1.5.2.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

16

$16$ .

48 x^{2} + 16 x^{2} (- x) = 0^{2}

$48 x^{2} + 16 x^{2} (- x) = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{2} x = 0^{2}

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{2} x = 0^{2}$

48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{2} x = 0^{2}

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{2} x = 0^{2}$

48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{2} x = 0^{2}

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{2} x = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.6.1

Multipliziere

x^{2}

$x^{2}$ mit

x

$x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.6.1.1

Bewege

x

$x$ .

48 x^{2} + 16 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) = 0^{2}

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.6.1.2

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x^{2}

$x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.6.1.2.1

Potenziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

48 x^{2} + 16 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) = 0^{2}

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{1 + 2} = 0^{2}

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{1 + 2} = 0^{2}$

48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{1 + 2} = 0^{2}

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{1 + 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.6.1.3

Addiere

1

$1$ und

2

$2$ .

48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{3} = 0^{2}

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{3} = 0^{2}$

48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{3} = 0^{2}

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{3} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.6.2

Mutltipliziere

16

$16$ mit

- 1

$- 1$ .

48 x^{2} - 16 x^{3} = 0^{2}

$48 x^{2} - 16 x^{3} = 0^{2}$

48 x^{2} - 16 x^{3} = 0^{2}

$48 x^{2} - 16 x^{3} = 0^{2}$

48 x^{2} - 16 x^{3} = 0^{2}

$48 x^{2} - 16 x^{3} = 0^{2}$

48 x^{2} - 16 x^{3} = 0^{2}

$48 x^{2} - 16 x^{3} = 0^{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

48 x^{2} - 16 x^{3} = 0

$48 x^{2} - 16 x^{3} = 0$

48 x^{2} - 16 x^{3} = 0

$48 x^{2} - 16 x^{3} = 0$

48 x^{2} - 16 x^{3} = 0

$48 x^{2} - 16 x^{3} = 0$

Schritt 2.3

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere

16 x^{2}

$16 x^{2}$ aus

48 x^{2} - 16 x^{3}

$48 x^{2} - 16 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere

16 x^{2}

$16 x^{2}$ aus

48 x^{2}

$48 x^{2}$ heraus.

16 x^{2} (3) - 16 x^{3} = 0

$16 x^{2} (3) - 16 x^{3} = 0$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere

16 x^{2}

$16 x^{2}$ aus

- 16 x^{3}

$- 16 x^{3}$ heraus.

16 x^{2} (3) + 16 x^{2} (- x) = 0

$16 x^{2} (3) + 16 x^{2} (- x) = 0$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere

16 x^{2}

$16 x^{2}$ aus

16 x^{2} (3) + 16 x^{2} (- x)

$16 x^{2} (3) + 16 x^{2} (- x)$ heraus.

16 x^{2} (3 - x) = 0

$16 x^{2} (3 - x) = 0$

16 x^{2} (3 - x) = 0

$16 x^{2} (3 - x) = 0$

Schritt 2.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

0

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

0

$0$ .

x^{2} = 0

$x^{2} = 0$

3 - x = 0

$3 - x = 0$

Schritt 2.3.3

Setze

x^{2}

$x^{2}$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze

x^{2}

$x^{2}$ gleich

0

$0$ .

x^{2} = 0

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse

x^{2} = 0

$x^{2} = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

x = \pm \sqrt{0}

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.3.2.2

Vereinfache

\pm \sqrt{0}

$\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Schreibe

0

$0$ als

0^{2}

$0^{2}$ um.

x = \pm \sqrt{0^{2}}

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

x = \pm 0

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.3.2.2.3

Plus oder Minus

0

$0$ ist

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Schritt 2.3.4

Setze

3 - x

$3 - x$ gleich

0

$0$ und löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.3.4.1

Setze

3 - x

$3 - x$ gleich

0

$0$ .

3 - x = 0

$3 - x = 0$

Schritt 2.3.4.2

Löse

3 - x = 0

$3 - x = 0$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.3.4.2.1

Subtrahiere

3

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

- x = - 3

$- x = - 3$

Schritt 2.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in

- x = - 3

$- x = - 3$ durch

- 1

$- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in

- x = - 3

$- x = - 3$ durch

- 1

$- 1$ .

\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.4.2.2.2.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x = \frac{- 3}{- 1}

$x = \frac{- 3}{- 1}$

x = \frac{- 3}{- 1}

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.4.2.2.3.1

Dividiere

- 3

$- 3$ durch

- 1

$- 1$ .

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

Schritt 2.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

16 x^{2} (3 - x) = 0

$16 x^{2} (3 - x) = 0$ wahr machen.

x = 0, 3

$x = 0, 3$

x = 0, 3

$x = 0, 3$

x = 0, 3

$x = 0, 3$

Schritt 3