Algebra Beispiele

$f (x) = 4 x \sqrt{3 - x}$

Schritt 1

Setze $4 x \sqrt{3 - x}$ gleich $0$ .

$4 x \sqrt{3 - x} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(4 x \sqrt{3 - x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 - x}$ als ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(4 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache ${(4 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $4 x {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(4 x)}^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$4^{2} x^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$16 x^{2} {({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 x^{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 x^{2} {(3 - x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.4

Vereinfache.

$16 x^{2} (3 - x) = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.2.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x^{2} \cdot 3 + 16 x^{2} (- x) = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1.5.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$48 x^{2} + 16 x^{2} (- x) = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.5.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{2} x = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.6.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.6.1.1

Bewege $x$ .

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.6.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{1 + 2} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.6.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$48 x^{2} + 16 \cdot - 1 x^{3} = 0^{2}$

Schritt 2.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$48 x^{2} - 16 x^{3} = 0^{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$48 x^{2} - 16 x^{3} = 0$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $16 x^{2}$ aus $48 x^{2} - 16 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $16 x^{2}$ aus $48 x^{2}$ heraus.

$16 x^{2} (3) - 16 x^{3} = 0$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $16 x^{2}$ aus $- 16 x^{3}$ heraus.

$16 x^{2} (3) + 16 x^{2} (- x) = 0$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere $16 x^{2}$ aus $16 x^{2} (3) + 16 x^{2} (- x)$ heraus.

$16 x^{2} (3 - x) = 0$

Schritt 2.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 - x = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.4

Setze $3 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.4.1

Setze $3 - x$ gleich $0$ .

$3 - x = 0$

Schritt 2.3.4.2

Löse $3 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 2.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 2.3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.4.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 2.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $16 x^{2} (3 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Schritt 3