Algebra Beispiele

0 = 35 x^{4} - x^{2} + 25

$0 = 35 x^{4} - x^{2} + 25$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als

35 x^{4} - x^{2} + 25 = 0

$35 x^{4} - x^{2} + 25 = 0$ um.

35 x^{4} - x^{2} + 25 = 0

$35 x^{4} - x^{2} + 25 = 0$

Schritt 2

Setze

u = x^{2}

$u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

35 u^{2} - u + 25 = 0

$35 u^{2} - u + 25 = 0$

u = x^{2}

$u = x^{2}$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte

a = 35

$a = 35$ ,

b = - 1

$b = - 1$ und

c = 25

$c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach

u

$u$ auf.

\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (35 \cdot 25)}}{2 \cdot 35}

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (35 \cdot 25)}}{2 \cdot 35}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 35 \cdot 25}}{2 \cdot 35}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 35 \cdot 25}}{2 \cdot 35}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 35 \cdot 25

$- 4 \cdot 35 \cdot 25$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

35

$35$ .

u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 140 \cdot 25}}{2 \cdot 35}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 140 \cdot 25}}{2 \cdot 35}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere

- 140

$- 140$ mit

25

$25$ .

u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 3500}}{2 \cdot 35}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 3500}}{2 \cdot 35}$

u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 3500}}{2 \cdot 35}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 3500}}{2 \cdot 35}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere

3500

$3500$ von

1

$1$ .

u = \frac{1 \pm \sqrt{- 3499}}{2 \cdot 35}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 3499}}{2 \cdot 35}$

Schritt 5.1.4

Schreibe

- 3499

$- 3499$ als

- 1 (3499)

$- 1 (3499)$ um.

u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3499}}{2 \cdot 35}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3499}}{2 \cdot 35}$

Schritt 5.1.5

Schreibe

\sqrt{- 1 (3499)}

$\sqrt{- 1 (3499)}$ als

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3499}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3499}$ um.

u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3499}}{2 \cdot 35}

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3499}}{2 \cdot 35}$

Schritt 5.1.6

Schreibe

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ als

i

$i$ um.

u = \frac{1 \pm i \sqrt{3499}}{2 \cdot 35}

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3499}}{2 \cdot 35}$

u = \frac{1 \pm i \sqrt{3499}}{2 \cdot 35}

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3499}}{2 \cdot 35}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

35

$35$ .

u = \frac{1 \pm i \sqrt{3499}}{70}

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3499}}{70}$

u = \frac{1 \pm i \sqrt{3499}}{70}

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{3499}}{70}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

u = \frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}, \frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}

$u = \frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}, \frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von

u = x^{2}

$u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}$

{(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach

x

$x$ auf.

x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach

x

$x$ auf.

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Schritt 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}}

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}}$

Schritt 9.2

Vereinfache

\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}}

$\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}}$ .

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Schritt 9.2.1

Schreibe

\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}}

$\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{3499}}{70}}$ als

\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}

$\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$ um.

x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}

$\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$ mit

\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}

$\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}$ .

x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}} \cdot \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}} \cdot \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}$

Schritt 9.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.3.1

Mutltipliziere

\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}

$\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$ mit

\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}

$\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}$ .

x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{\sqrt{70} \sqrt{70}}

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{\sqrt{70} \sqrt{70}}$

Schritt 9.2.3.2

Potenziere

\sqrt{70}

$\sqrt{70}$ mit

1

$1$ .

x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1} \sqrt{70}}

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1} \sqrt{70}}$

Schritt 9.2.3.3

Potenziere

\sqrt{70}

$\sqrt{70}$ mit

1

$1$ .

x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1} {\sqrt{70}}^{1}}

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1} {\sqrt{70}}^{1}}$

Schritt 9.2.3.4

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1 + 1}}

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.2.3.5

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{2}}

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{2}}$

Schritt 9.2.3.6

Schreibe

{\sqrt{70}}^{2}

${\sqrt{70}}^{2}$ als

70

$70$ um.

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Schritt 9.2.3.6.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{70}

$\sqrt{70}$ als

70^{\frac{1}{2}}

$70^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{(70^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{(70^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.2.3.6.3

Kombiniere

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ und

2

$2$ .

x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{2}{2}}}

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 9.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{1}}$

Schritt 9.2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70}$

Schritt 9.2.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Schritt 9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Schritt 9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach

$x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach

$x$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}$

Schritt 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}}$

Schritt 11.3

Vereinfache

$\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}}$ .

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Schritt 11.3.1

Schreibe

$\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{3499}}{70}}$ als

$\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$ mit

$\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}} \cdot \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}$

Schritt 11.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.3.3.1

Mutltipliziere

$\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}}}{\sqrt{70}}$ mit

$\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{70}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{\sqrt{70} \sqrt{70}}$

Schritt 11.3.3.2

Potenziere

$\sqrt{70}$ mit

$1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1} \sqrt{70}}$

Schritt 11.3.3.3

Potenziere

$\sqrt{70}$ mit

$1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1} {\sqrt{70}}^{1}}$

Schritt 11.3.3.4

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{1 + 1}}$

Schritt 11.3.3.5

Addiere

$1$ und

$1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{\sqrt{70}}^{2}}$

Schritt 11.3.3.6

Schreibe

${\sqrt{70}}^{2}$ als

$70$ um.

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Schritt 11.3.3.6.1

Benutze

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

$\sqrt{70}$ als

$70^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{{(70^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11.3.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 11.3.3.6.3

Kombiniere

$\frac{1}{2}$ und

$2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.3.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 11.3.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 11.3.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70^{1}}$

Schritt 11.3.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{3499}} \sqrt{70}}{70}$

Schritt 11.3.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Schritt 11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Schritt 11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Schritt 11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$

Schritt 12

Die Lösung von

$35 x^{4} - x^{2} + 25 = 0$ ist

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{3499}) \cdot 70}}{70}$ .

Schritt 13