Algebra Beispiele

$x^{8} - 26 x^{4} + 25 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

${(x^{4})}^{2} - 26 x^{4} + 25 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{4}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{4}$ .

$u^{2} - 26 u + 25 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} - 26 u + 25$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $25$ und deren Summe $- 26$ ist.

$- 25, - 1$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 25) (u - 1) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$(x^{4} - 25) (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{4} - 25 = 0$

$x^{4} - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{4} - 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{4} - 25$ gleich $0$ .

$x^{4} - 25 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{4} - 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = 25$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{25}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{25}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{5^{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\sqrt[4]{5^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{5^{2}}}$ um.

$x = \pm \sqrt{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 3.2.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 4

Setze $x^{4} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{4} - 1$ gleich $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{4} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = 1$

Schritt 4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Schritt 4.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{4} - 25) (x^{4} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 1, - 1$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, 1, - 1$

Dezimalform:

$x = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots, 1, - 1$

Schritt 7