Algebra Beispiele

$x^{7} - 63 x^{5} + 486 x^{3}$

Schritt 1

Setze $x^{7} - 63 x^{5} + 486 x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{7} - 63 x^{5} + 486 x^{3} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{7} - 63 x^{5} + 486 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{7}$ heraus.

$x^{3} x^{4} - 63 x^{5} + 486 x^{3} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 63 x^{5}$ heraus.

$x^{3} x^{4} + x^{3} (- 63 x^{2}) + 486 x^{3} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $486 x^{3}$ heraus.

$x^{3} x^{4} + x^{3} (- 63 x^{2}) + x^{3} \cdot 486 = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{4} + x^{3} (- 63 x^{2})$ heraus.

$x^{3} (x^{4} - 63 x^{2}) + x^{3} \cdot 486 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (x^{4} - 63 x^{2}) + x^{3} \cdot 486$ heraus.

$x^{3} (x^{4} - 63 x^{2} + 486) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x^{3} ({(x^{2})}^{2} - 63 x^{2} + 486) = 0$

Schritt 2.1.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x^{3} (u^{2} - 63 u + 486) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $u^{2} - 63 u + 486$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $486$ und deren Summe $- 63$ ist.

$- 54, - 9$

Schritt 2.1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x^{3} ((u - 54) (u - 9)) = 0$

Schritt 2.1.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x^{3} ((x^{2} - 54) (x^{2} - 9)) = 0$

Schritt 2.1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x^{3} ((x^{2} - 54) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.7.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x^{3} ((x^{2} - 54) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Schritt 2.1.7.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} ((x^{2} - 54) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (x^{2} - 54) (x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

$x^{2} - 54 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{3}$ gleich $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2} - 54$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2} - 54$ gleich $0$ .

$x^{2} - 54 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} - 54 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $54$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 54$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{54}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{54}$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Schreibe $54$ als $3^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.4.2.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $54$ heraus.

$x = \pm \sqrt{9 (6)}$

Schritt 2.4.2.3.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 6}$

Schritt 2.4.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 3 \sqrt{6}$

Schritt 2.4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 \sqrt{6}$

Schritt 2.4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 \sqrt{6}$

Schritt 2.4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 \sqrt{6}, - 3 \sqrt{6}$

Schritt 2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{3} (x^{2} - 54) (x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3 \sqrt{6}, - 3 \sqrt{6}, - 3, 3$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, 3 \sqrt{6}, - 3 \sqrt{6}, - 3, 3$

Dezimalform:

$x = 0, 7.34846922 \dots, - 7.34846922 \dots, - 3, 3$

Schritt 4