Algebra Beispiele

$f (x) = - x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$

Schritt 1

Setze $- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$ gleich $0$ .

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- x^{3}$ aus $- x^{4} + x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- x^{3}$ aus $- x^{4}$ heraus.

$- x^{3} x + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- x^{3}$ aus $x^{3}$ heraus.

$- x^{3} x - x^{3} \cdot - 1 + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- x^{3}$ aus $- x^{3} (x) - x^{3} \cdot - 1$ heraus.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 21 \cdot 20 = 420$ und deren Summe gleich $b = - 41$ ist.

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Schritt 2.1.3.1.1

Faktorisiere $- 41$ aus $- 41 x$ heraus.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Schreibe $- 41$ um als $- 20$ plus $- 21$

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} + (- 20 - 21) x + 20 = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

Schritt 2.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

Schritt 2.1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- x^{3} (x - 1) + x (21 x - 20) - (21 x - 20) = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $21 x - 20$ .

$- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x - 1$ aus $- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1)$ heraus.

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $- x^{3} (x - 1)$ heraus.

$(x - 1) (- x^{3}) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $(21 x - 20) (x - 1)$ heraus.

$(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20) = 0$

Schritt 2.1.4.3

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20)$ heraus.

$(x - 1) (- x^{3} + 21 x - 20) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.5.1

Schreibe $- x^{3} + 21 x - 20$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.5.1.1

Faktorisiere $- x^{3} + 21 x - 20$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.5.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.5.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Schritt 2.1.5.1.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.5.1.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 1^{3} + 21 \cdot 1 - 20$

Schritt 2.1.5.1.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 21 \cdot 1 - 20$

Schritt 2.1.5.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 21 \cdot 1 - 20$

Schritt 2.1.5.1.1.3.4

Mutltipliziere $21$ mit $1$ .

$- 1 + 21 - 20$

Schritt 2.1.5.1.1.3.5

Addiere $- 1$ und $21$ .

$20 - 20$

Schritt 2.1.5.1.1.3.6

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$0$

Schritt 2.1.5.1.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} + 21 x - 20}{x - 1}$

Schritt 2.1.5.1.1.5

Dividiere $- x^{3} + 21 x - 20$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.1.5.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

Schritt 2.1.5.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

Schritt 2.1.5.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

Schritt 2.1.5.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

Schritt 2.1.5.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.1.5.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 2.1.5.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$

Schritt 2.1.5.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

Schritt 2.1.5.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

Schritt 2.1.5.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	-	$20$

Schritt 2.1.5.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $20 x - 20$

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$

Schritt 2.1.5.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$
										$0$

Schritt 2.1.5.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} - x + 20$

Schritt 2.1.5.1.1.6

Schreibe $- x^{3} + 21 x - 20$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - x + 20)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.5.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.5.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 2.1.5.1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - (x) + 20)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2.1.1.2

Schreibe $- 1$ um als $4$ plus $- 5$

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + (4 - 5) x + 20)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + 4 x - 5 x + 20)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.5.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) ((x - 1) ((- x^{2} + 4 x) - 5 x + 20)) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) ((x - 1) (x (- x + 4) + 5 (- x + 4))) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 4$ .

$(x - 1) ((x - 1) ((- x + 4) (x + 5))) = 0$

Schritt 2.1.5.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) ((x - 1) (- x + 4) (x + 5)) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Schritt 2.1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.6.1

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Schritt 2.1.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 1)}^{1 + 1} (- x + 4) (x + 5) = 0$

Schritt 2.1.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$- x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2.3

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.4

Setze $- x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $- x + 4$ gleich $0$ .

$- x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $- x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 2.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 1, 4, - 5$

Schritt 3