Algebra Beispiele

$- x^{3} + x^{2} + x - 1$

Schritt 1

Setze $- x^{3} + x^{2} + x - 1$ gleich $0$ .

$- x^{3} + x^{2} + x - 1 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- x^{3} + x^{2}) + x - 1 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (- x + 1) - 1 (- x + 1) = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 1$ .

$(- x + 1) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(- x + 1) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(- x + 1) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(- x + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$(- (x) + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$(- (x) - 1 \cdot - 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$- (x - 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.5.4

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$- 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.5.5

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$- 1 ((x - 1) (x - 1)) (x + 1) = 0$

Schritt 2.1.5.6

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$- 1 ((x - 1) (x - 1)) (x + 1) = 0$

Schritt 2.1.5.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1) = 0$

Schritt 2.1.5.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 1$

Schritt 3