Algebra Beispiele

$f (x) = x - x^{3}$

Schritt 1

Setze $x - x^{3}$ gleich $0$ .

$x - x^{3} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x - x^{3} = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - x^{3} = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x^{2})$ heraus.

$x (1 - x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x (1^{2} - x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$x ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (1 + x) (1 - x) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.5

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 + x) (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 1$

Schritt 3