Algebra Beispiele

$y = 4 x^{4} - 11 x^{2} - 3$

Schritt 1

Setze $4 x^{4} - 11 x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$4 x^{4} - 11 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$4 u^{2} - 11 u - 3 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 11$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 11$ aus $- 11 u$ heraus.

$4 u^{2} - 11 u - 3 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 11$ um als $1$ plus $- 12$

$4 u^{2} + (1 - 12) u - 3 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 u^{2} + 1 u - 12 u - 3 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$4 u^{2} + u - 12 u - 3 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 u^{2} + u) - 12 u - 3 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (4 u + 1) - 3 (4 u + 1) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (u - 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$u - 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $4 u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $4 u + 1$ gleich $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $4 u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = - 1$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.5

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 u + 1) (u - 3) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{1}{4}, 3$

Schritt 2.7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = - \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 3$

Schritt 2.8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.9.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$

Schritt 2.9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$ .

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Schritt 2.9.2.1

Schreibe $- \frac{1}{4}$ als ${(\frac{i}{2})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{i}{2}$

Schritt 2.9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i}{2}$

Schritt 2.9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i}{2}$

Schritt 2.9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}$

Schritt 2.10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 3$

Schritt 2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 3$

Schritt 2.11.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 2.11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.11.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 2.11.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 2.11.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 2.12

Die Lösung von $4 x^{4} - 11 x^{2} - 3 = 0$ ist $x = \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$x = \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 3