Algebra Beispiele

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$

Schritt 1

Setze $x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ gleich $0$ .

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{3} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ heraus.

$x (x^{2} + 1) + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 6 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + u^{2} - 5 u - 6 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $u^{2} - 5 u - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 6, 1$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x (x^{2} + 1) + (u - 6) (u + 1) = 0$

Schritt 2.1.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $x (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere $u + u^{2} - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 2.1.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = i, - i, 2, - 3$

Schritt 3