Algebra Beispiele

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} - 4 x^{2} + 5 x = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + 5 x = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $5 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 5 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 4 x)$ heraus.

$x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 5 = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 5$ heraus.

$x (x^{2} - 4 x + 5) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Schritt 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $x^{2} - 4 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} - 4 x + 5$ gleich $0$ .

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.3

Subtrahiere $20$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + i, 2 - i$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} - 4 x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2 + i, 2 - i$

Schritt 6