Algebra Beispiele

$\sqrt{2 x} - \sqrt{36 - 2 x} = 6$

Schritt 1

Löse nach $\sqrt{2 x}$ auf.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $36 - 2 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$\sqrt{2 x} - \sqrt{2 (18) - 2 x} = 6$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\sqrt{2 x} - \sqrt{2 (18) + 2 (- x)} = 6$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (18) + 2 (- x)$ heraus.

$\sqrt{2 x} - \sqrt{2 (18 - x)} = 6$

Schritt 1.2

Addiere $\sqrt{2 (18 - x)}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x} = 6 + \sqrt{2 (18 - x)}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x}}^{2} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x)}^{1} = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$2 x = {(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(6 + \sqrt{2 (18 - x)})}^{2}$ als $(6 + \sqrt{2 (18 - x)}) (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$ um.

$2 x = (6 + \sqrt{2 (18 - x)}) (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(6 + \sqrt{2 (18 - x)}) (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x = 6 (6 + \sqrt{2 (18 - x)}) + \sqrt{2 (18 - x)} (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x = 6 \cdot 6 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + \sqrt{2 (18 - x)} (6 + \sqrt{2 (18 - x)})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x = 6 \cdot 6 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + \sqrt{2 (18 - x)} \cdot 6 + \sqrt{2 (18 - x)} \sqrt{2 (18 - x)}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + \sqrt{2 (18 - x)} \cdot 6 + \sqrt{2 (18 - x)} \sqrt{2 (18 - x)}$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\sqrt{2 (18 - x)}$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \cdot \sqrt{2 (18 - x)} + \sqrt{2 (18 - x)} \sqrt{2 (18 - x)}$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{2 (18 - x)} \sqrt{2 (18 - x)}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{2 (18 - x)}$ mit $1$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {\sqrt{2 (18 - x)}}^{1} \sqrt{2 (18 - x)}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2 (18 - x)}$ mit $1$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {\sqrt{2 (18 - x)}}^{1} {\sqrt{2 (18 - x)}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {\sqrt{2 (18 - x)}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {\sqrt{2 (18 - x)}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{2 (18 - x)}}^{2}$ als $2 (18 - x)$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (18 - x)}$ als ${(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {({(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {(2 (18 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {(2 (18 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + {(2 (18 - x))}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Vereinfache.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 2 (18 - x)$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 2 \cdot 18 + 2 (- x)$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 36 + 2 (- x)$

Schritt 3.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 x = 36 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 36 - 2 x$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $36$ und $36$ .

$2 x = 72 + 6 \sqrt{2 (18 - x)} + 6 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $6 \sqrt{2 (18 - x)}$ und $6 \sqrt{2 (18 - x)}$ .

$2 x = 72 + 12 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x$

Schritt 4

Löse nach $12 \sqrt{2 (18 - x)}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $72 + 12 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x = 2 x$ um.

$72 + 12 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x = 2 x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $12 \sqrt{2 (18 - x)}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $72$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 \sqrt{2 (18 - x)} - 2 x = 2 x - 72$

Schritt 4.2.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 \sqrt{2 (18 - x)} = 2 x - 72 + 2 x$

Schritt 4.2.3

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$12 \sqrt{2 (18 - x)} = 4 x - 72$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(12 \sqrt{2 (18 - x)})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (18 - x)}$ als ${(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(12 {(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(12 {(2 (18 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(12 {(2 \cdot 18 + 2 (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

${(12 {(36 + 2 (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

${(12 {(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.3

Wende die Produktregel auf $12 {(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$12^{2} {({(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.4

Potenziere $12$ mit $2$ .

$144 {({(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 {(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$144 {(36 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$144 {(36 - 2 x)}^{1} = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Vereinfache.

$144 (36 - 2 x) = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$144 \cdot 36 + 144 (- 2 x) = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.5.1

Mutltipliziere $144$ mit $36$ .

$5184 + 144 (- 2 x) = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $144$ .

$5184 - 288 x = {(4 x - 72)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(4 x - 72)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(4 x - 72)}^{2}$ als $(4 x - 72) (4 x - 72)$ um.

$5184 - 288 x = (4 x - 72) (4 x - 72)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(4 x - 72) (4 x - 72)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5184 - 288 x = 4 x (4 x - 72) - 72 (4 x - 72)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5184 - 288 x = 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x - 72)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5184 - 288 x = 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5184 - 288 x = 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$5184 - 288 x = 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5184 - 288 x = 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} + 4 x \cdot - 72 - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 72$ mit $4$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} - 288 x - 72 (4 x) - 72 \cdot - 72$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 72$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} - 288 x - 288 x - 72 \cdot - 72$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 72$ mit $- 72$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} - 288 x - 288 x + 5184$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $288 x$ von $- 288 x$ .

$5184 - 288 x = 16 x^{2} - 576 x + 5184$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$16 x^{2} - 576 x + 5184 = 5184 - 288 x$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $288 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 576 x + 5184 + 288 x = 5184$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 576 x$ und $288 x$ .

$16 x^{2} - 288 x + 5184 = 5184$

Schritt 7.3

Subtrahiere $5184$ von beiden Seiten der Gleichung.

$16 x^{2} - 288 x + 5184 - 5184 = 0$

Schritt 7.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 x^{2} - 288 x + 5184 - 5184$ .

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Schritt 7.4.1

Subtrahiere $5184$ von $5184$ .

$16 x^{2} - 288 x + 0 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $16 x^{2} - 288 x$ und $0$ .

$16 x^{2} - 288 x = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $16 x$ aus $16 x^{2} - 288 x$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $16 x$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$16 x (x) - 288 x = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $16 x$ aus $- 288 x$ heraus.

$16 x (x) + 16 x (- 18) = 0$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $16 x$ aus $16 x (x) + 16 x (- 18)$ heraus.

$16 x (x - 18) = 0$

Schritt 7.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 18 = 0$

Schritt 7.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.8

Setze $x - 18$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.8.1

Setze $x - 18$ gleich $0$ .

$x - 18 = 0$

Schritt 7.8.2

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 18$

Schritt 7.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $16 x (x - 18) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 18$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\sqrt{2 x} - \sqrt{36 - 2 x} = 6$ nicht erfüllen.

$x = 18$

Schritt 9