Algebra Beispiele

$F (X) = x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10$

Schritt 1

Setze $x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10$ gleich $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 11 x^{2} + 3 x + 10 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3} + 3 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $3 x$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ heraus.

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 10 = 0$

Schritt 2.1.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 11 u + 10 = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $u^{2} - 11 u + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $- 11$ ist.

$- 10, - 1$

Schritt 2.1.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 10) (u - 1) = 0$

Schritt 2.1.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 2.1.9

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.1.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1)$ heraus.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2.1.11.2

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x^{2} - 10) (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 10) = 0$

Schritt 2.1.11.3

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 10)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 10) = 0$

Schritt 2.1.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 u + u^{2} - 10) = 0$

Schritt 2.1.13

Faktorisiere $- 3 u + u^{2} - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.13.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 2.1.13.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 5) (u + 2)) = 0$

Schritt 2.1.14

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 5) (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 1) (x - 5) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1, 5, - 2$

Schritt 3