Algebra Beispiele

$- 2 \cos (\frac{5}{4} x)$

Schritt 1

Setze $- 2 \cos (\frac{5}{4} x)$ gleich $0$ .

$- 2 \cos (\frac{5}{4} x) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (\frac{5}{4} x) = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (\frac{5}{4} x) = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{5}{4} x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos (\frac{5}{4} x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{5}{4} x)$ durch $1$ .

$\cos (\frac{5}{4} x) = \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$\cos (\frac{5}{4} x) = 0$

Schritt 2.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{5}{4} x = \arccos (0)$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $x$ .

$\frac{5 x}{4} = \arccos (0)$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{5 x}{4} = \frac{π}{2}$

Schritt 2.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 2.6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.1.1

Vereinfache $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4}$ .

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Schritt 2.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.6.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.6.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinfache $\frac{4}{5} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Schritt 2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{5} π$

Schritt 2.6.2.1.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $π$ .

$x = \frac{2 π}{5}$

Schritt 2.7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{5 x}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 2.8.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.8.2.1.1

Vereinfache $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4}$ .

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Schritt 2.8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.8.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 2.8.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 2.8.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.8.2.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 2.8.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 2.8.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 2.8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 2.8.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{4}{5} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 2.8.2.2.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{4}{5} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 2.8.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.8.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.2.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.8.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.8.2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{5} (2 π \cdot 2 - π)$

Schritt 2.8.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2}{5} (4 π - π)$

Schritt 2.8.2.2.1.6

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{2}{5} (3 π)$

Schritt 2.8.2.2.1.7

Multipliziere $\frac{2}{5} (3 π)$ .

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Schritt 2.8.2.2.1.7.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{5}$ .

$x = \frac{3 \cdot 2}{5} π$

Schritt 2.8.2.2.1.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6}{5} π$

Schritt 2.8.2.2.1.7.3

Kombiniere $\frac{6}{5}$ und $π$ .

$x = \frac{6 π}{5}$

Schritt 2.9

Ermittele die Periode von $\cos (\frac{5}{4} x)$ .

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Schritt 2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.9.2

Ersetze $b$ durch $\frac{5}{4}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{5}{4} |}$

Schritt 2.9.3

$\frac{5}{4}$ ist ungefähr $1.25$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{5}{4}}$

Schritt 2.9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{4}{5}$

Schritt 2.9.5

Multipliziere $2 π \frac{4}{5}$ .

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Schritt 2.9.5.1

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{5} π$

Schritt 2.9.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8}{5} π$

Schritt 2.9.5.3

Kombiniere $\frac{8}{5}$ und $π$ .

$\frac{8 π}{5}$

Schritt 2.10

Die Periode der Funktion $\cos (\frac{5}{4} x)$ ist $\frac{8 π}{5}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{8 π}{5}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{2 π}{5} + \frac{8 π n}{5}, \frac{6 π}{5} + \frac{8 π n}{5}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{2 π}{5} + \frac{4 π n}{5}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3