Algebra Beispiele

$5^{x} - 5^{5 - x} = 150$

Schritt 1

Schreibe $5^{5 - x}$ als $5^{5} \cdot 5^{- x}$ um.

$5^{x} - (5^{5} \cdot 5^{- x}) = 150$

Schritt 2

Schreibe $5^{- x}$ als Potenz um.

$5^{x} - (5^{5} \cdot {(5^{x})}^{- 1}) = 150$

Schritt 3

Entferne die Klammern.

$5^{x} - 5^{5} {(5^{x})}^{- 1} = 150$

Schritt 4

Ersetze $5^{x}$ durch $u$ .

$u - 5^{5} u^{- 1} = 150$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Potenziere $5$ mit $5$ .

$u - 1 \cdot (3125 u^{- 1}) = 150$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3125$ .

$u - 3125 u^{- 1} = 150$

Schritt 5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - 3125 \frac{1}{u} = 150$

Schritt 5.4

Kombiniere $- 3125$ und $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{- 3125}{u} = 150$

Schritt 5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u - \frac{3125}{u} = 150$

Schritt 6

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 6.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 6.2

Multipliziere jeden Term in $u - \frac{3125}{u} = 150$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere jeden Term in $u - \frac{3125}{u} = 150$ mit $u$ .

$u \cdot u - \frac{3125}{u} u = 150 u$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} - \frac{3125}{u} u = 150 u$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3125}{u}$ in den Zähler.

$u^{2} + \frac{- 3125}{u} u = 150 u$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{- 3125}{u} u = 150 u$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} - 3125 = 150 u$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $150 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 3125 - 150 u = 0$

Schritt 6.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 150$ und $c = - 3125$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{150 \pm \sqrt{{(- 150)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3125)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.4

Vereinfache.

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Schritt 6.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.4.1.1

Potenziere $- 150$ mit $2$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 - 4 \cdot 1 \cdot - 3125}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 3125$ .

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Schritt 6.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 - 4 \cdot - 3125}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3125$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{22500 + 12500}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.4.1.3

Addiere $22500$ und $12500$ .

$u = \frac{150 \pm \sqrt{35000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.4.1.4

Schreibe $35000$ als $50^{2} \cdot 14$ um.

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Schritt 6.3.4.1.4.1

Faktorisiere $2500$ aus $35000$ heraus.

$u = \frac{150 \pm \sqrt{2500 (14)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.4.1.4.2

Schreibe $2500$ als $50^{2}$ um.

$u = \frac{150 \pm \sqrt{50^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2}$

Schritt 6.3.4.3

Vereinfache $\frac{150 \pm 50 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 75 \pm 25 \sqrt{14}$

Schritt 6.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 75 + 25 \sqrt{14}, 75 - 25 \sqrt{14}$

Schritt 7

Setze $75 + 25 \sqrt{14}$ für $u$ in $u = 5^{x}$ ein.

$75 + 25 \sqrt{14} = 5^{x}$

Schritt 8

Löse $75 + 25 \sqrt{14} = 5^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $5^{x} = 75 + 25 \sqrt{14}$ um.

$5^{x} = 75 + 25 \sqrt{14}$

Schritt 8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x}) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$

Schritt 8.3

Zerlege $\ln (5^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$

Schritt 8.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$ durch $\ln (5)$ und vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (5) = \ln (75 + 25 \sqrt{14})$ durch $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (5)$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Schritt 8.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Schritt 9

Setze $75 - 25 \sqrt{14}$ für $u$ in $u = 5^{x}$ ein.

$75 - 25 \sqrt{14} = 5^{x}$

Schritt 10

Löse $75 - 25 \sqrt{14} = 5^{x}$ .

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$ um.

$5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$

Schritt 10.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (5^{x}) = \ln (75 - 25 \sqrt{14})$

Schritt 10.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (75 - 25 \sqrt{14})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 10.4

Es gibt keine Lösung für $5^{x} = 75 - 25 \sqrt{14}$

Keine Lösung

Schritt 11

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (75 + 25 \sqrt{14})}{\ln (5)}$

Dezimalform:

$x = 3.18569705 \dots$

Schritt 13