Algebra Beispiele

$f (x) = x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$

Schritt 1

Setze $x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$ gleich $0$ .

$x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{2} x^{2} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + x^{3} + x - 2 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$x^{2} (x^{2} - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + x^{3} + x - 2 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + x^{3} + x - 2 = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $x^{3} + x - 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.5.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.5.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2$

Schritt 2.1.5.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.5.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} + 1 - 2$

Schritt 2.1.5.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 + 1 - 2$

Schritt 2.1.5.3.3

Addiere $1$ und $1$ .

$2 - 2$

Schritt 2.1.5.3.4

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 2.1.5.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

Schritt 2.1.5.5

Dividiere $x^{3} + x - 2$ durch $x - 1$ .

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Schritt 2.1.5.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Schritt 2.1.5.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Schritt 2.1.5.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Schritt 2.1.5.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.1.5.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.1.5.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Schritt 2.1.5.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Schritt 2.1.5.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Schritt 2.1.5.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Schritt 2.1.5.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Schritt 2.1.5.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Schritt 2.1.5.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x - 2$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Schritt 2.1.5.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Schritt 2.1.5.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + x + 2$

Schritt 2.1.5.6

Schreibe $x^{3} + x - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $x - 1$ aus $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ heraus.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ heraus.

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + x^{2} + x + 2) = 0$

Schritt 2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Schritt 2.1.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.8.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.8.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Schritt 2.1.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Addiere $2$ und $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + 2) = 0$

Schritt 2.1.10

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2) = 0$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.11.1

Schreibe $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.11.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.11.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) ((x^{3} + 2 x^{2}) + x + 2) = 0$

Schritt 2.1.11.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) (x^{2} (x + 2) + 1 (x + 2)) = 0$

Schritt 2.1.11.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} + 1)) = 0$

Schritt 2.1.11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.5.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 2, i, - i$

Schritt 3