Algebra Beispiele

$f (x) = 36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5}$

Schritt 1

Setze $36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5}$ gleich $0$ .

$36 + 36 x - 13 x^{2} - 13 x^{3} + x^{4} + x^{5} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$36 - 13 x^{2} + x^{4} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Schritt 2.1.2

Forme den mittleren Term um.

$36 + 2 \cdot (6 x^{2}) - 25 x^{2} + x^{4} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Schritt 2.1.3

Ordne Terme um.

$36 + 2 \cdot (6 x^{2}) + x^{4} - 25 x^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

${(6 + x^{2})}^{2} - 25 x^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Schritt 2.1.5

Schreibe $25 x^{2}$ als ${(5 x)}^{2}$ um.

${(6 + x^{2})}^{2} - {(5 x)}^{2} + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Schritt 2.1.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 6 + x^{2}$ und $b = 5 x$ .

$(6 + x^{2} + 5 x) (6 + x^{2} - (5 x)) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Schritt 2.1.7

Vereinfache.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $6 + x^{2} + 5 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.7.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 2.1.7.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x)) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Schritt 2.1.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + 36 x - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere $x$ aus $36 x - 13 x^{3} + x^{5}$ heraus.

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Schritt 2.1.8.1

Faktorisiere $x$ aus $36 x$ heraus.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 - 13 x^{3} + x^{5} = 0$

Schritt 2.1.8.2

Faktorisiere $x$ aus $- 13 x^{3}$ heraus.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 + x (- 13 x^{2}) + x^{5} = 0$

Schritt 2.1.8.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot 36 + x (- 13 x^{2}) + x \cdot x^{4} = 0$

Schritt 2.1.8.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 36 + x (- 13 x^{2})$ heraus.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x \cdot (36 - 13 x^{2}) + x \cdot x^{4} = 0$

Schritt 2.1.8.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot (36 - 13 x^{2}) + x \cdot x^{4}$ heraus.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 - 13 x^{2} + x^{4}) = 0$

Schritt 2.1.9

Forme den mittleren Term um.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 + 2 \cdot (6 x^{2}) - 25 x^{2} + x^{4}) = 0$

Schritt 2.1.10

Ordne Terme um.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (36 + 2 \cdot (6 x^{2}) + x^{4} - 25 x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere die ersten drei Terme mithilfe der binomischen Formeln.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ({(6 + x^{2})}^{2} - 25 x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.12

Schreibe $25 x^{2}$ als ${(5 x)}^{2}$ um.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ({(6 + x^{2})}^{2} - {(5 x)}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.13

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 6 + x^{2}$ und $b = 5 x$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((6 + x^{2} + 5 x) (6 + x^{2} - (5 x))) = 0$

Schritt 2.1.14

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.14.1

Vereinfache.

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Schritt 2.1.14.1.1

Faktorisiere $6 + x^{2} + 5 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.14.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $5$ ist.

$2, 3$

Schritt 2.1.14.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - (5 x))) = 0$

Schritt 2.1.14.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x ((x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)) = 0$

Schritt 2.1.14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) = 0$

Schritt 2.1.15

Faktorisiere $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ aus $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ heraus.

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Schritt 2.1.15.1

Faktorisiere $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ aus $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ heraus.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) = 0$

Schritt 2.1.15.2

Faktorisiere $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ aus $x (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ heraus.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (x) = 0$

Schritt 2.1.15.3

Faktorisiere $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x)$ aus $(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1) + (x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (x)$ heraus.

$(x + 2) (x + 3) (6 + x^{2} - 5 x) (1 + x) = 0$

Schritt 2.1.16

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.16.1

Faktorisiere $6 + x^{2} - 5 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.16.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 3, - 2$

Schritt 2.1.16.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) (x + 3) ((x - 3) (x - 2)) (1 + x) = 0$

Schritt 2.1.16.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

$1 + x = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.7

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (1 + x) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 3, 3, 2, - 1$

Schritt 3