Algebra Beispiele

$P (x) = x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 4$

Schritt 1

Setze $x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 4$ gleich $0$ .

$x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 4 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} - x^{3} - 4 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5} - x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{3} x^{2} - x^{3} - 4 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- x^{3}$ heraus.

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 1 - 4 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 1$ heraus.

$x^{3} (x^{2} - 1) - 4 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x^{3} (x^{2} - 1^{2}) - 4 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x^{3} ((x + 1) (x - 1)) - 4 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (x + 1) (x - 1) - 4 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{4} + 10 x^{2} + 2 x - 4$ heraus.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{4}$ heraus.

$x^{3} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 10 x^{2} + 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$x^{3} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2}) + 2 x - 4 = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$x^{3} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (x) - 4 = 0$

Schritt 2.1.5.4

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x^{3} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.1.5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2})$ heraus.

$x^{3} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.1.5.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2}) + 2 x$ heraus.

$x^{3} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2} + x) + 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 2.1.5.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2} + x) + 2 \cdot - 2$ heraus.

$x^{3} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2} + x - 2) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $- 2 x^{4} + 5 x^{2} + x - 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.6.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 2.1.6.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Schritt 2.1.6.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.6.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$- 2 {(- 1)}^{4} + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Schritt 2.1.6.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- 2 \cdot 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Schritt 2.1.6.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 + 5 {(- 1)}^{2} - 1 - 2$

Schritt 2.1.6.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 + 5 \cdot 1 - 1 - 2$

Schritt 2.1.6.1.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 2 + 5 - 1 - 2$

Schritt 2.1.6.1.3.6

Addiere $- 2$ und $5$ .

$3 - 1 - 2$

Schritt 2.1.6.1.3.7

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2 - 2$

Schritt 2.1.6.1.3.8

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$0$

Schritt 2.1.6.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 2 x^{4} + 5 x^{2} + x - 2}{x + 1}$

Schritt 2.1.6.1.5

Dividiere $- 2 x^{4} + 5 x^{2} + x - 2$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.1.6.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

Schritt 2.1.6.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

Schritt 2.1.6.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{3}$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 2.1.6.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{4} - 2 x^{3}$

$2 x^{3}$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 2.1.6.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{3}$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 2.1.6.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{3}$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

Schritt 2.1.6.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

Schritt 2.1.6.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Schritt 2.1.6.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + 2 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Schritt 2.1.6.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

Schritt 2.1.6.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x$

Schritt 2.1.6.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x$

Schritt 2.1.6.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Schritt 2.1.6.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} + 3 x$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Schritt 2.1.6.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2 x$

Schritt 2.1.6.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2 x$

$2$

Schritt 2.1.6.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2 x$

$2$

Schritt 2.1.6.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

Schritt 2.1.6.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x - 2$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

Schritt 2.1.6.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$1$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$2$

$2 x^{4}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

$0$

Schritt 2.1.6.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2$

Schritt 2.1.6.1.6

Schreibe $- 2 x^{4} + 5 x^{2} + x - 2$ als eine Menge von Faktoren.

$x^{3} (x + 1) (x - 1) + 2 ((x + 1) (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (x + 1) (x - 1) + 2 (x + 1) (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2) = 0$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $x + 1$ aus $x^{3} (x + 1) (x - 1) + 2 (x + 1) (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2)$ heraus.

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Schritt 2.1.7.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $x^{3} (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x^{3} (x - 1)) + 2 (x + 1) (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2) = 0$

Schritt 2.1.7.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $2 (x + 1) (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2)$ heraus.

$(x + 1) (x^{3} (x - 1)) + (x + 1) (2 (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.7.3

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (x^{3} (x - 1)) + (x + 1) (2 (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2))$ heraus.

$(x + 1) (x^{3} (x - 1) + 2 (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + 2 (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.9

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.9.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.9.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + 2 (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.9.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 1) (x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1 + 2 (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Addiere $3$ und $1$ .

$(x + 1) (x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + 2 (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.10

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$(x + 1) (x^{4} - 1 x^{3} + 2 (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.11

Schreibe $- 1 x^{3}$ als $- x^{3}$ um.

$(x + 1) (x^{4} - x^{3} + 2 (- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 3 x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x^{4} - x^{3} + 2 (- 2 x^{3}) + 2 (2 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.13

Vereinfache.

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Schritt 2.1.13.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$(x + 1) (x^{4} - x^{3} - 4 x^{3} + 2 (2 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x + 1) (x^{4} - x^{3} - 4 x^{3} + 4 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.13.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(x + 1) (x^{4} - x^{3} - 4 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.13.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$(x + 1) (x^{4} - x^{3} - 4 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 4) = 0$

Schritt 2.1.14

Subtrahiere $4 x^{3}$ von $- x^{3}$ .

$(x + 1) (x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 4) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Setze $x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 4$ gleich $0$ .

$x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$4 x^{2} - 4 + x^{4} - 5 x^{3} + 6 x = 0$

Schritt 2.4.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 4$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{2}) - 4 + x^{4} - 5 x^{3} + 6 x = 0$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (x^{2}) + 4 (- 1) + x^{4} - 5 x^{3} + 6 x = 0$

Schritt 2.4.2.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (- 1)$ heraus.

$4 (x^{2} - 1) + x^{4} - 5 x^{3} + 6 x = 0$

Schritt 2.4.2.1.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$4 (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 5 x^{3} + 6 x = 0$

Schritt 2.4.2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$4 ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 5 x^{3} + 6 x = 0$

Schritt 2.4.2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 5 x^{3} + 6 x = 0$

Schritt 2.4.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} - 5 x^{3} + 6 x$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$4 (x + 1) (x - 1) + x \cdot x^{3} - 5 x^{3} + 6 x = 0$

Schritt 2.4.2.1.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{3}$ heraus.

$4 (x + 1) (x - 1) + x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) + 6 x = 0$

Schritt 2.4.2.1.5.3

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$4 (x + 1) (x - 1) + x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) + x \cdot 6 = 0$

Schritt 2.4.2.1.5.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2})$ heraus.

$4 (x + 1) (x - 1) + x (x^{3} - 5 x^{2}) + x \cdot 6 = 0$

Schritt 2.4.2.1.5.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{3} - 5 x^{2}) + x \cdot 6$ heraus.

$4 (x + 1) (x - 1) + x (x^{3} - 5 x^{2} + 6) = 0$

Schritt 2.4.2.1.6

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.6.1

Faktorisiere $x^{3} - 5 x^{2} + 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.6.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 2.4.2.1.6.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 2.4.2.1.6.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.4.2.1.6.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 6$

Schritt 2.4.2.1.6.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 6$

Schritt 2.4.2.1.6.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 - 5 \cdot 1 + 6$

Schritt 2.4.2.1.6.1.3.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 1 - 5 + 6$

Schritt 2.4.2.1.6.1.3.5

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$- 6 + 6$

Schritt 2.4.2.1.6.1.3.6

Addiere $- 6$ und $6$ .

$0$

Schritt 2.4.2.1.6.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 6}{x + 1}$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5

Dividiere $x^{3} - 5 x^{2} + 6$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.4.2.1.6.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$6$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{2} - 6 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 x + 6$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$0 x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 6 x + 6$

Schritt 2.4.2.1.6.1.6

Schreibe $x^{3} - 5 x^{2} + 6$ als eine Menge von Faktoren.

$4 (x + 1) (x - 1) + x ((x + 1) (x^{2} - 6 x + 6)) = 0$

Schritt 2.4.2.1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x + 1) (x - 1) + x (x + 1) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Schritt 2.4.2.1.7

Faktorisiere $x + 1$ aus $4 (x + 1) (x - 1) + x (x + 1) (x^{2} - 6 x + 6)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.7.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $4 (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (4 (x - 1)) + x (x + 1) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Schritt 2.4.2.1.7.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $x (x + 1) (x^{2} - 6 x + 6)$ heraus.

$(x + 1) (4 (x - 1)) + (x + 1) (x (x^{2} - 6 x + 6)) = 0$

Schritt 2.4.2.1.7.3

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (4 (x - 1)) + (x + 1) (x (x^{2} - 6 x + 6))$ heraus.

$(x + 1) (4 (x - 1) + x (x^{2} - 6 x + 6)) = 0$

Schritt 2.4.2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (4 x + 4 \cdot - 1 + x (x^{2} - 6 x + 6)) = 0$

Schritt 2.4.2.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$(x + 1) (4 x - 4 + x (x^{2} - 6 x + 6)) = 0$

Schritt 2.4.2.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (4 x - 4 + x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 6) = 0$

Schritt 2.4.2.1.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.11.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.11.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.11.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x + 1) (4 x - 4 + x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 6) = 0$

Schritt 2.4.2.1.11.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 1) (4 x - 4 + x^{1 + 2} + x (- 6 x) + x \cdot 6) = 0$

Schritt 2.4.2.1.11.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(x + 1) (4 x - 4 + x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot 6) = 0$

Schritt 2.4.2.1.11.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x + 1) (4 x - 4 + x^{3} - 6 x \cdot x + x \cdot 6) = 0$

Schritt 2.4.2.1.11.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x + 1) (4 x - 4 + x^{3} - 6 x \cdot x + 6 \cdot x) = 0$

Schritt 2.4.2.1.12

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.12.1

Bewege $x$ .

$(x + 1) (4 x - 4 + x^{3} - 6 (x \cdot x) + 6 \cdot x) = 0$

Schritt 2.4.2.1.12.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x + 1) (4 x - 4 + x^{3} - 6 x^{2} + 6 \cdot x) = 0$

$(x + 1) (4 x - 4 + x^{3} - 6 x^{2} + 6 x) = 0$

Schritt 2.4.2.1.13

Addiere $4 x$ und $6 x$ .

$(x + 1) (- 4 + x^{3} - 6 x^{2} + 10 x) = 0$

Schritt 2.4.2.1.14

Stelle die Terme um.

$(x + 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 10 x - 4) = 0$

Schritt 2.4.2.1.15

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.15.1

Faktorisiere $x^{3} - 6 x^{2} + 10 x - 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.4.2.1.15.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 2.4.2.1.15.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 2.4.2.1.15.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.15.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 - 4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 - 4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 10 \cdot 2 - 4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.3.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$8 - 24 + 10 \cdot 2 - 4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.3.5

Subtrahiere $24$ von $8$ .

$- 16 + 10 \cdot 2 - 4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.3.6

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$- 16 + 20 - 4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.3.7

Addiere $- 16$ und $20$ .

$4 - 4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.3.8

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0$

Schritt 2.4.2.1.15.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 10 x - 4}{x - 2}$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5

Dividiere $x^{3} - 6 x^{2} + 10 x - 4$ durch $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$10 x$

$4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$2 x$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$2 x$	-	$4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$2 x$	-	$4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$2 x$	-	$4$
							+	$2 x$	-	$4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x - 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$2 x$	-	$4$
							-	$2 x$	+	$4$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$10 x$	-	$4$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$2 x$	-	$4$
							-	$2 x$	+	$4$
										$0$

Schritt 2.4.2.1.15.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 4 x + 2$

Schritt 2.4.2.1.15.1.6

Schreibe $x^{3} - 6 x^{2} + 10 x - 4$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 1) ((x - 2) (x^{2} - 4 x + 2)) = 0$

Schritt 2.4.2.1.15.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (x - 2) (x^{2} - 4 x + 2) = 0$

Schritt 2.4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4.2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.4.2.5

Setze $x^{2} - 4 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.5.1

Setze $x^{2} - 4 x + 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2.5.2

Löse $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.5.2.3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 2.4.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.2.3.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.4.2.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.2.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2.5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Schritt 2.4.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x - 2) (x^{2} - 4 x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 2, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 2, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 1, 2, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = - 1, 2, 3.41421356 \dots, 0.58578643 \dots$

Schritt 4