Algebra Beispiele

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x - 2, 2 - x$

Schritt 1.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.4

Das kgV von $1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.5

Der Teiler von $x - 2$ ist $x - 2$ selbst.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.6

Der Teiler von $2 - x$ ist $2 - x$ selbst.

$(2 - x) = 2 - x$

$(2 - x)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.7

Das kgV von $x - 2, 2 - x$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x - 2) (2 - x)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ mit $(x - 2) (2 - x)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ mit $(x - 2) (2 - x)$ .

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} ((x - 2) (2 - x)) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} ((x - 2) (2 - x)) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Schritt 2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{2} (2 - x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} (- x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x^{2} + 2 x^{2} (- x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Schritt 2.2.1.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} x = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.1

Bewege $x$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{1 + 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Schritt 2.2.2.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2 - x$ aus $(x - 2) (2 - x)$ heraus.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((2 - x) (x - 2))$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((2 - x) (x - 2))$

Schritt 2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = (- 7 x + 6) (x - 2)$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(- 7 x + 6) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x (x - 2) + 6 (x - 2)$

Schritt 2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x \cdot x - 7 x \cdot - 2 + 6 (x - 2)$

Schritt 2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x \cdot x - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Schritt 2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 (x \cdot x) - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Schritt 2.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 7$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 14 x + 6 x + 6 \cdot - 2$

Schritt 2.3.3.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 14 x + 6 x - 12$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $14 x$ und $6 x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 20 x - 12$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $7 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x^{2} = 20 x - 12$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $20 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x = - 12$

Schritt 3.1.3

Addiere $4 x^{2}$ und $7 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x = - 12$

Schritt 3.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.3.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 3.3.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Schritt 3.3.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.3.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$- 2 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Schritt 3.3.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Schritt 3.3.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$- 16 + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Schritt 3.3.1.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 16 + 11 \cdot 4 - 20 \cdot 2 + 12$

Schritt 3.3.1.3.5

Mutltipliziere $11$ mit $4$ .

$- 16 + 44 - 20 \cdot 2 + 12$

Schritt 3.3.1.3.6

Addiere $- 16$ und $44$ .

$28 - 20 \cdot 2 + 12$

Schritt 3.3.1.3.7

Mutltipliziere $- 20$ mit $2$ .

$28 - 40 + 12$

Schritt 3.3.1.3.8

Subtrahiere $40$ von $28$ .

$- 12 + 12$

Schritt 3.3.1.3.9

Addiere $- 12$ und $12$ .

$0$

Schritt 3.3.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12}{x - 2}$

Schritt 3.3.1.5

Dividiere $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ durch $x - 2$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$12$

Schritt 3.3.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$

Schritt 3.3.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 3.3.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 3.3.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Schritt 3.3.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$

Schritt 3.3.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$

Schritt 3.3.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Schritt 3.3.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 x^{2} - 14 x$

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Schritt 3.3.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$

Schritt 3.3.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Schritt 3.3.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Schritt 3.3.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Schritt 3.3.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x + 12$

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Schritt 3.3.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Schritt 3.3.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 2 x^{2} + 7 x - 6$

Schritt 3.3.1.6

Schreibe $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 x - 6) = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot - 6 = 12$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 (x) - 6) = 0$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Schreibe $7$ um als $3$ plus $4$

$(x - 2) (- 2 x^{2} + (3 + 4) x - 6) = 0$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 x + 4 x - 6) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 2) ((- 2 x^{2} + 3 x) + 4 x - 6) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 2) (x (- 2 x + 3) - 2 (- 2 x + 3)) = 0$

Schritt 3.3.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 x + 3$ .

$(x - 2) ((- 2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 2) (- 2 x + 3) (x - 2) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$- 2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.6

Setze $- 2 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $- 2 x + 3$ gleich $0$ .

$- 2 x + 3 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $- 2 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 3$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 3$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 3$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 3.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (- 2 x + 3) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 2, \frac{3}{2}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ nicht erfüllen.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 5