Algebra Beispiele

$f (x) = \log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$

Schritt 1

Setze $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$ gleich $0$ .

$\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(2 x + 3) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (2 x (x - 2) + 3 (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 (x - 2)) = 0$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\log_{9} (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{9} (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x - 6) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $- 4 x$ und $3 x$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$9^{0} = 2 x^{2} - x - 6$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$ um.

$2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$

Schritt 2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$2 x^{2} - x - 6 = 1$

Schritt 2.3.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - x - 6 - 1 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 6$ .

$2 x^{2} - x - 7 = 0$

Schritt 2.3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3.5

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 1$ und $c = - 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

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Schritt 2.3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 7$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 56}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.6.1.3

Addiere $1$ und $56$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{4}$

Schritt 2.3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}, \frac{1 - \sqrt{57}}{4}$

Schritt 2.4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

Dezimalform:

$x = 2.13745860 \dots$

Schritt 4