Algebra Beispiele

$0 = x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16 = 0$ um.

$x^{4} - 3 x^{3} + 10 x^{2} - 24 x + 16 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gruppiere die Terme um.

$- 3 x^{3} - 24 x + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3} - 24 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} - 24 x + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 24 x$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot 8 + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x (x^{2}) - 3 x (8)$ heraus.

$- 3 x (x^{2} + 8) + x^{4} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 3 x (x^{2} + 8) + {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} + 16 = 0$

Schritt 2.4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + u^{2} + 10 u + 16 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $u^{2} + 10 u + 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $16$ und deren Summe $10$ ist.

$2, 8$

Schritt 2.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 3 x (x^{2} + 8) + (u + 2) (u + 8) = 0$

Schritt 2.6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} + 8) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8) = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $x^{2} + 8$ aus $- 3 x (x^{2} + 8) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$ heraus.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $x^{2} + 8$ aus $- 3 x (x^{2} + 8)$ heraus.

$(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 2) (x^{2} + 8) = 0$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $x^{2} + 8$ aus $(x^{2} + 2) (x^{2} + 8)$ heraus.

$(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 8) (x^{2} + 2) = 0$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $x^{2} + 8$ aus $(x^{2} + 8) (- 3 x) + (x^{2} + 8) (x^{2} + 2)$ heraus.

$(x^{2} + 8) (- 3 x + x^{2} + 2) = 0$

Schritt 2.8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 8) (- 3 u + u^{2} + 2) = 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 3 u + u^{2} + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.9.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 2.9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} + 8) ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere.

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Schritt 2.10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 8) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Schritt 2.10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 8) (x - 2) (x - 1) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4

Setze $x^{2} + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{2} + 8$ gleich $0$ .

$x^{2} + 8 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{2} + 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 8$

Schritt 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 8}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 8}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (8)}$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{8}$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.2.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}$

Schritt 4.2.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{2})$

Schritt 4.2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{2}$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 i \sqrt{2}$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}$

Schritt 5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 8) (x - 2) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 i \sqrt{2}, - 2 i \sqrt{2}, 2, 1$

Schritt 8