Algebra Beispiele

$x + 4 < \frac{5}{x}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$(x + 4) x = \frac{5}{x} x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $(x + 4) x$ .

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + 4 x = \frac{5}{x} x$

Schritt 2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 4 x = \frac{5}{x} x$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 4 x = \frac{5}{x} x$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 4 x = 5$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x - 5 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) (x + 5) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 5$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $x + 4 - \frac{5}{x}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{5}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 8) + 4 < \frac{5}{- 8}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $- 4$ ist kleiner als die rechte Seite $- 0.625$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) + 4 < \frac{5}{- 2}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $2$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 2.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(0.5) + 4 < \frac{5}{0.5}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $4.5$ ist kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 6.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(4) + 4 < \frac{5}{4}$

Schritt 6.4.3

Die linke Seite $8$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1.25$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 5$ oder $0 < x < 1$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 5 or 0 < x < 1$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5) \cup (0, 1)$

Schritt 9