Algebra Beispiele

$(\sqrt{3} + \sqrt{5}) (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$

Schritt 1

Multipliziere $(\sqrt{3} + \sqrt{5}) (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{3} - 3 \sqrt{5})$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Schritt 2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\sqrt{9} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3 + \sqrt{3} (- 3 \sqrt{5}) + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $\sqrt{3} (- 3 \sqrt{5})$ .

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Schritt 2.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$3 - 3 \sqrt{3 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{5} \sqrt{3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{5 \cdot 3} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} + \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$

Schritt 2.1.8

Multipliziere $\sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$ .

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Schritt 2.1.8.1

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})$

Schritt 2.1.8.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})$

Schritt 2.1.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}$

Schritt 2.1.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 {\sqrt{5}}^{2}$

Schritt 2.1.9

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.1.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5^{1}$

Schritt 2.1.9.5

Berechne den Exponenten.

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 3 \cdot 5$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$3 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15} - 15$

Schritt 2.2

Subtrahiere $15$ von $3$ .

$- 12 - 3 \sqrt{15} + \sqrt{15}$

Schritt 2.3

Addiere $- 3 \sqrt{15}$ und $\sqrt{15}$ .

$- 12 - 2 \sqrt{15}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 12 - 2 \sqrt{15}$

Dezimalform:

$- 19.74596669 \dots$