Algebra Beispiele

$\frac{12 x + 48}{6 x - 15} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x + 48$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{12 (x) + 48}{6 x - 15} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $12$ aus $48$ heraus.

$\frac{12 x + 12 \cdot 4}{6 x - 15} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $12$ aus $12 x + 12 \cdot 4$ heraus.

$\frac{12 (x + 4)}{6 x - 15} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 x - 15$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x) - 15} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x) + 3 (- 5)} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x) + 3 (- 5)$ heraus.

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{4 x^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{{(2 x)}^{2} - 25}{x^{2} + 9 x + 20}$

Schritt 2.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{{(2 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2} + 9 x + 20}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 5$ .

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{x^{2} + 9 x + 20}$

Schritt 3

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $9$ ist.

$4, 5$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{12 (x + 4)}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{(x + 4) (x + 5)}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x + 4$ aus $12 (x + 4)$ heraus.

$\frac{(x + 4) \cdot 12}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{(x + 4) (x + 5)}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 4) \cdot 12}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{(x + 4) (x + 5)}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{3 (2 x - 5)} \cdot \frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{x + 5}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 5$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2 x - 5$ aus $3 (2 x - 5)$ heraus.

$\frac{12}{(2 x - 5) \cdot 3} \cdot \frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{x + 5}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $2 x - 5$ aus $(2 x + 5) (2 x - 5)$ heraus.

$\frac{12}{(2 x - 5) \cdot 3} \cdot \frac{(2 x - 5) (2 x + 5)}{x + 5}$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{(2 x - 5) \cdot 3} \cdot \frac{(2 x - 5) (2 x + 5)}{x + 5}$

Schritt 4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{3} \cdot \frac{2 x + 5}{x + 5}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{12}{3}$ mit $\frac{2 x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{12 (2 x + 5)}{3 (x + 5)}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $12 (2 x + 5)$ heraus.

$\frac{3 (4 (2 x + 5))}{3 (x + 5)}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 (2 x + 5))}{3 (x + 5)}$

Schritt 4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (2 x + 5)}{x + 5}$