Algebra Beispiele

$9 x^{2} + y^{2} + 144 x = - 567$

Schritt 1

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 x^{2} + 144 x$ an.

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Schritt 1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = 144$

$c = 0$

Schritt 1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{144}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $144$ und $2$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $144$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 72}{2 (9)}$

Schritt 1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{72}{9}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $72$ und $9$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $72$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot 8}{9}$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot 8}{9 (1)}$

Schritt 1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot 8}{9 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{8}{1}$

Schritt 1.3.2.2.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$d = 8$

Schritt 1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{144^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Potenziere $144$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{20736}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{20736}{36}$

Schritt 1.4.2.1.3

Dividiere $20736$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 576$

Schritt 1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $576$ .

$e = 0 - 576$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $576$ von $0$ .

$e = - 576$

Schritt 1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(x + 8)}^{2} - 576$ ein.

$9 {(x + 8)}^{2} - 576$

Schritt 2

Setze $9 {(x + 8)}^{2} - 576$ für $9 x^{2} + 144 x$ ein in der Gleichung $9 x^{2} + y^{2} + 144 x = - 567$ .

$9 {(x + 8)}^{2} - 576 + y^{2} = - 567$

Schritt 3

Bringe $- 576$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $576$ auf beiden Seiten.

$9 {(x + 8)}^{2} + y^{2} = - 567 + 576$

Schritt 4

Addiere $- 567$ und $576$ .

$9 {(x + 8)}^{2} + y^{2} = 9$

Schritt 5

Teile jeden Term durch $9$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{9 {(x + 8)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

${(x + 8)}^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1$