Algebra Beispiele

$\frac{x}{x + 4} \geq 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x}{x + 4} - 2 \geq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x}{x + 4} - 2$ .

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Schritt 2.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x}{x + 4} - 2 \cdot \frac{x + 4}{x + 4} \geq 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x}{x + 4} + \frac{- 2 (x + 4)}{x + 4} \geq 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 2 (x + 4)}{x + 4} \geq 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot 4}{x + 4} \geq 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{x - 2 x - 8}{x + 4} \geq 0$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{- x - 8}{x + 4} \geq 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - 8}{x + 4} \geq 0$

Schritt 2.6

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (8)}{x + 4} \geq 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (8)$ heraus.

$\frac{- (x + 8)}{x + 4} \geq 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- (x + 8)$ als $- 1 (x + 8)$ um.

$\frac{- 1 (x + 8)}{x + 4} \geq 0$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 8}{x + 4} \geq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 8 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 5

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 8$

$x = - 4$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 8, - 4$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x + 8}{x + 4}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 8}{x + 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 4 = 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$x > - 4$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 10}{(- 10) + 4} \geq 2$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $1.\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 8 < x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 8 < x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 6}{(- 6) + 4} \geq 2$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{0}{(0) + 4} \geq 2$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 8$ Falsch

$- 8 < x < - 4$ Wahr

$x > - 4$ Falsch

$x < - 8$ Falsch

$- 8 < x < - 4$ Wahr

$x > - 4$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 8 \leq x < - 4$

Schritt 12