Algebra Beispiele

$4 x^{5} - 40 x^{3} + 36 x = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{5} - 40 x^{3} + 36 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{5}$ heraus.

$4 x (x^{4}) - 40 x^{3} + 36 x = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 40 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{4}) + 4 x (- 10 x^{2}) + 36 x = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $36 x$ heraus.

$4 x (x^{4}) + 4 x (- 10 x^{2}) + 4 x (9) = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{4}) + 4 x (- 10 x^{2})$ heraus.

$4 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 4 x (9) = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{4} - 10 x^{2}) + 4 x (9)$ heraus.

$4 x (x^{4} - 10 x^{2} + 9) = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$4 x ({(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} + 9) = 0$

Schritt 1.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$4 x (u^{2} - 10 u + 9) = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $u^{2} - 10 u + 9$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $9$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 9, - 1$

Schritt 1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 x ((u - 9) (u - 1)) = 0$

Schritt 1.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$4 x ((x^{2} - 9) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 1.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$4 x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 1.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3) (x^{2} - 1)) = 0$

Schritt 1.8

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$4 x ((x + 3) (x - 3) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 1.9

Faktorisiere.

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Schritt 1.9.1

Faktorisiere.

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Schritt 1.9.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Schritt 1.9.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x ((x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 1.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 x (x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 7

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x + 3) (x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 3, 3, - 1, 1$