Algebra Beispiele

$\log_{256} (x) < \frac{1}{4}$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{256} (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\log_{256} (x) = \frac{1}{4}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$256^{\frac{1}{4}} = x$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $x = 256^{\frac{1}{4}}$ um.

$x = 256^{\frac{1}{4}}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $256^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1.1

Schreibe $256$ als $4^{4}$ um.

$x = {(4^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4^{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 4^{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 2.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 4^{1}$

Schritt 2.2.2.3

Berechne den Exponenten.

$x = 4$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{256} (x) - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{256} (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{256} (- 2) < \frac{1}{4}$

Schritt 5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

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Schritt 5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{256} (2) < \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $0.125$ ist kleiner als die rechte Seite $0.25$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{256} (6) < \frac{1}{4}$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $0.32312031$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.25$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < 4$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < 4$

Intervallschreibweise:

$(0, 4)$

Schritt 8