Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{5 x^{2} + 8 x - 4} - \sqrt[3]{9 x} = 0$

Schritt 1

Addiere $\sqrt[3]{9 x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[3]{5 x^{2} + 8 x - 4} = \sqrt[3]{9 x}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{5 x^{2} + 8 x - 4}}^{3} = {\sqrt[3]{9 x}}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5 x^{2} + 8 x - 4}$ als ${(5 x^{2} + 8 x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(5 x^{2} + 8 x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt[3]{9 x}}^{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(5 x^{2} + 8 x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 x^{2} + 8 x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 x^{2} + 8 x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{9 x}}^{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(5 x^{2} + 8 x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt[3]{9 x}}^{3}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 x^{2} + 8 x - 4)}^{1} = {\sqrt[3]{9 x}}^{3}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$5 x^{2} + 8 x - 4 = {\sqrt[3]{9 x}}^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{9 x}}^{3}$ als $9 x$ um.

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Schritt 3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9 x}$ als ${(9 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$5 x^{2} + 8 x - 4 = {({(9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{2} + 8 x - 4 = {(9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$5 x^{2} + 8 x - 4 = {(9 x)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{2} + 8 x - 4 = {(9 x)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{2} + 8 x - 4 = {(9 x)}^{1}$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache.

$5 x^{2} + 8 x - 4 = 9 x$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $9 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} + 8 x - 4 - 9 x = 0$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $9 x$ von $8 x$ .

$5 x^{2} - x - 4 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 4.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$5 x^{2} - (x) - 4 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $- 1$ um als $4$ plus $- 5$

$5 x^{2} + (4 - 5) x - 4 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} + 4 x - 5 x - 4 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 x^{2} + 4 x) - 5 x - 4 = 0$

Schritt 4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (5 x + 4) - (5 x + 4) = 0$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 4$ .

$(5 x + 4) (x - 1) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.4

Setze $5 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $5 x + 4$ gleich $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse $5 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 4$

Schritt 4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 4$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 4$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Schritt 4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Schritt 4.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Schritt 4.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{5}$

Schritt 4.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x + 4) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{4}{5}, 1$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{4}{5}, 1$

Dezimalform:

$x = - 0.8, 1$