Algebra Beispiele

${(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 4^{3 d} = 1$

Schritt 1

Vereinfache ${(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 4^{3 d}$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 4^{3 d} = 1$

Schritt 1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2^{2}} \cdot 4^{3 d} = 1$

Schritt 1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot 4^{3 d} = 1$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4^{3 d}$ .

$\frac{4^{3 d}}{4} = 1$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{3 d}$ und $4$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{3 d}$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4^{3 d - 1}}{4} = 1$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4^{3 d - 1}}{4 (1)} = 1$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 4^{3 d - 1}}{4 \cdot 1} = 1$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4^{3 d - 1}}{1} = 1$

Schritt 1.3.2.4

Dividiere $4^{3 d - 1}$ durch $1$ .

$4^{3 d - 1} = 1$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{3 d - 1}) = \ln (1)$

Schritt 3

Zerlege $\ln (4^{3 d - 1})$ durch Herausziehen von $3 d - 1$ aus dem Logarithmus.

$(3 d - 1) \ln (4) = \ln (1)$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $(3 d - 1) \ln (4)$ .

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 d \ln (4) - 1 \ln (4) = \ln (1)$

Schritt 4.1.2

Schreibe $- 1 \ln (4)$ als $- \ln (4)$ um.

$3 d \ln (4) - \ln (4) = \ln (1)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$3 d \ln (4) - \ln (4) = 0$

Schritt 6

Addiere $\ln (4)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 d \ln (4) = \ln (4)$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $3 d \ln (4) = \ln (4)$ durch $3 \ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $3 d \ln (4) = \ln (4)$ durch $3 \ln (4)$ .

$\frac{3 d \ln (4)}{3 \ln (4)} = \frac{\ln (4)}{3 \ln (4)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 d \ln (4)}{3 \ln (4)} = \frac{\ln (4)}{3 \ln (4)}$

Schritt 7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (4)}{3 \ln (4)}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (4)}{3 \ln (4)}$

Schritt 7.2.2.2

Dividiere $d$ durch $1$ .

$d = \frac{\ln (4)}{3 \ln (4)}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (4)$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{\ln (4)}{3 \ln (4)}$

Schritt 7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$d = \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$d = 0.\overline{3}$