Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt{12} - \sqrt{8}}{\sqrt{8} - \sqrt{3}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (3)} - \sqrt{8}}{\sqrt{8} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{8}}{\sqrt{8} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{8}}{\sqrt{8} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{8} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{8} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{8} - \sqrt{3}}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{8} - \sqrt{3}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{4 (2)} - \sqrt{3}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2} - \sqrt{3}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} - \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(2 \sqrt{2} - \sqrt{3}) (2 \sqrt{2} + \sqrt{3})}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + \sqrt{3})}{4 {\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{(2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + \sqrt{3})}{5}$

Schritt 5

Multipliziere $(2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3} (2 \sqrt{2} + \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2} + \sqrt{3})}{5}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2} + \sqrt{3})}{5}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{3} (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere $2 \sqrt{3} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 6.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{4 \sqrt{2 \cdot 3} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3} \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Schritt 6.1.2.1

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sqrt{6} + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 2 {\sqrt{3}}^{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \sqrt{6} + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{6} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{6} + 2 \cdot 3^{1} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \sqrt{6} + 2 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.5

Multipliziere $- 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 6.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 4 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1} - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 4 {\sqrt{2}}^{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 4 \cdot 2^{1} - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 4 \cdot 2 - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 8 - 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6.1.8

Multipliziere $- 2 \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

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Schritt 6.1.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 8 - 2 \sqrt{3 \cdot 2}}{5}$

Schritt 6.1.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 6 - 8 - 2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2 \sqrt{6}$ von $4 \sqrt{6}$ .

$\frac{6 - 8 + 2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $8$ von $6$ .

$\frac{- 2 + 2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 7

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{- 1 (2) + 2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 8

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \sqrt{6}$ heraus.

$\frac{- 1 (2) - (- 2 \sqrt{6})}{5}$

Schritt 9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (- 2 \sqrt{6})$ heraus.

$\frac{- 1 (2 - 2 \sqrt{6})}{5}$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 - 2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2 - 2 \sqrt{6}}{5}$

Dezimalform:

$0.57979589 \dots$