Algebra Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1$ , $x \geq 2$

Schritt 1

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

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Schritt 1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$[- 7, \infty)$

Schritt 1.2

Wandle $[- 7, \infty)$ in eine Ungleichung um.

$y \geq - 7$

Schritt 2

Ermittle die Umkehrfunktion.

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Schritt 2.1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 y^{2} - 8 y + 1$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 y^{2} - 8 y + 1 = x$ um.

$2 y^{2} - 8 y + 1 = x$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} - 8 y + 1 - x = 0$

Schritt 2.2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 8$ und $c = 1 - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.6

Subtrahiere $8$ von $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.7

Faktorisiere $8$ aus $56 + 8 x$ heraus.

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Schritt 2.2.5.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $56$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $8 \cdot 7 + 8 x$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.8

Schreibe $8 (7 + x)$ als $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ um.

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Schritt 2.2.5.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.6

Subtrahiere $8$ von $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.7

Faktorisiere $8$ aus $56 + 8 x$ heraus.

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Schritt 2.2.6.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $56$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $8 \cdot 7 + 8 x$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.8

Schreibe $8 (7 + x)$ als $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ um.

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Schritt 2.2.6.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Schritt 2.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.7.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.1.6

Subtrahiere $8$ von $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.1.7

Faktorisiere $8$ aus $56 + 8 x$ heraus.

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Schritt 2.2.7.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $56$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.1.7.2

Faktorisiere $8$ aus $8 \cdot 7 + 8 x$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.1.8

Schreibe $8 (7 + x)$ als $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ um.

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Schritt 2.2.7.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Schritt 2.2.7.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Schritt 2.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Schritt 2.2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Schritt 2.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Schritt 3

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, x \geq - 7$

Schritt 4