Algebra Beispiele

$y = - 4 \sec (π x) + 2$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = - 4 \sec (π x) + 2$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = - 4 \sec (π x) + 2$ auftritt.

$π x = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $π x = - \frac{π}{2}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = - \frac{π}{2}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.3.2.2

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Sekansfunktion $π x$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$π x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{3 π}{2}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{3 π}{2}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Schritt 1.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.4.3.2.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 1.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = - 4 \sec (π x) + 2$ tritt auf bei $(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ , wobei $- \frac{1}{2}$ und $\frac{3}{2}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 1.6.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = - 4 \sec (π x) + 2$ treten auf bei $- \frac{1}{2}$ , $\frac{3}{2}$ und jedem $n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = \frac{3}{2} + n$

Schritt 1.8

Der Sekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3}{2} + n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3}{2} + n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \sec (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 4$

$b = π$

$c = 0$

$d = 2$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $s e c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $- 4 \sec (π x)$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 4.1.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 4.1.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $2$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $π$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Schritt 4.2.3

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{π}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$2$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{π}$

Schritt 5.3

Dividiere $0$ durch $π$ .

Phasenverschiebung: $0$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $2$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: $2$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3}{2} + n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $2$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: $2$

Schritt 8