Algebra Beispiele

$y = \frac{1}{2} \sqrt{4 - x} + 4$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - x} + 4$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - x \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 4$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 4$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x \leq 4$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 4]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 4}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 4]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 4}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $4$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \frac{\sqrt{4 - x} + 8}{2}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{\sqrt{4 - (4)} + 8}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (4) = \frac{\sqrt{4 - 4} + 8}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (4) = \frac{\sqrt{0} + 8}{2}$

Schritt 2.2.1.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (4) = \frac{\sqrt{0^{2}} + 8}{2}$

Schritt 2.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (4) = \frac{0 + 8}{2}$

Schritt 2.2.1.5

Addiere $0$ und $8$ .

$f (4) = \frac{8}{2}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $8$ durch $2$ .

$f (4) = 4$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(4, 4)$ .

$(4, 4)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \frac{\sqrt{4 - x} + 8}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, \frac{\sqrt{2} + 8}{2})$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{4 - (2)} + 8}{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{4 - 2} + 8}{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f (2) = \frac{\sqrt{2} + 8}{2}$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{2} + 8}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2} + 8}{2}$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = \frac{\sqrt{4 - x} + 8}{2}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, \frac{9}{2})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{\sqrt{4 - (3)} + 8}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{\sqrt{4 - 3} + 8}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$f (3) = \frac{\sqrt{1} + 8}{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (3) = \frac{1 + 8}{2}$

Schritt 4.2.2.1.4

Addiere $1$ und $8$ .

$f (3) = \frac{9}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(4, 4), (2, 4.71), (3, 4.5)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 4.71 \\ 3 & 4.5 \\ 4 & 4 \end{array}$

Schritt 5