Algebra Beispiele

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 x + 4}{3 x - 3}$

Schritt 1

Vereinfache beide Seiten.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 4$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 (x) + 4}{3 x - 3}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 x + 2 \cdot 2}{3 x - 3}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot 2$ heraus.

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 (x + 2)}{3 x - 3}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 3$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 (x + 2)}{3 (x) - 3}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 (x + 2)}{3 (x) + 3 (- 1)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (- 1)$ heraus.

$\frac{7}{x + 1} = \frac{2 (x + 2)}{3 (x - 1)}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$7 (3 (x - 1)) = (x + 1) (2 (x + 2))$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$(x + 1) \cdot (2 (x + 2)) = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache $(x + 1) \cdot (2 (x + 2))$ .

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Schritt 3.2.1

Forme um.

$0 + 0 + (x + 1) \cdot (2 (x + 2)) = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) \cdot (2 x + 2 \cdot 2) = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x + 1) \cdot (2 x + 4) = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2.3

Multipliziere $(x + 1) (2 x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2.4.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2.4.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2.4.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.2.4.2

Addiere $4 x$ und $2 x$ .

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 7 \cdot (3 (x - 1))$

Schritt 3.3

Vereinfache $7 \cdot (3 (x - 1))$ .

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 7 \cdot (3 x + 3 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 7 \cdot (3 x - 3)$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 7 (3 x) + 7 \cdot - 3$

Schritt 3.3.4

Multipliziere.

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Schritt 3.3.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 21 x + 7 \cdot - 3$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 3$ .

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 21 x - 21$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $21 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 6 x + 4 - 21 x = - 21$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $21 x$ von $6 x$ .

$2 x^{2} - 15 x + 4 = - 21$

Schritt 3.5

Addiere $21$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 15 x + 4 + 21 = 0$

Schritt 3.6

Addiere $4$ und $21$ .

$2 x^{2} - 15 x + 25 = 0$

Schritt 3.7

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.7.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ und deren Summe gleich $b = - 15$ ist.

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Schritt 3.7.1.1

Faktorisiere $- 15$ aus $- 15 x$ heraus.

$2 x^{2} - 15 x + 25 = 0$

Schritt 3.7.1.2

Schreibe $- 15$ um als $- 5$ plus $- 10$

$2 x^{2} + (- 5 - 10) x + 25 = 0$

Schritt 3.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 5 x - 10 x + 25 = 0$

Schritt 3.7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.7.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 5 x) - 10 x + 25 = 0$

Schritt 3.7.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5) = 0$

Schritt 3.7.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 5$ .

$(2 x - 5) (x - 5) = 0$

Schritt 3.8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 3.9

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.9.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 3.9.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.9.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 3.9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.9.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 3.10

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.10.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3.10.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 3.11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 5) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{5}{2}, 5$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{5}{2}, 5$

Dezimalform:

$x = 2.5, 5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 2 \frac{1}{2}, 5$